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Ordnung, Automorphismengruppe, p-sylowgruppen

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Tags: Automorphismengruppe, Ordnung, p-Sylowgruppen

mega3636 aktiv_icon

19:31 Uhr, 19.05.2020

Hallo zusammen,
ich hab hier eine Aufgabe, ich muss den ersten Teil bearbeiten können um den rest zu machen kann mir da jemand helfen.

Sei

p > 0

eine Primzahl und

n < p^{2}

(i)

Berechnen Sie die Ordnung der p-Sylow-Gruppen

H

⊂

S_{n}

.
(ii) Zeigen Sie, dass

H

elementar-abelsch ist, und geben Sie eine F_p-Basis an.
(iii) Bestimmen Sie die Ordnung der Automorphismengruppe Aut(H).

(i)

ich weiss dass die Gruppe

S_{n}

Ordnung

n!

hat. Als Untergruppe müsste

H

die Gruppenordnung teilen nach Lagrange.
Allerdings weiss ich nicht wie ich hier weiter vorankomme.

(ii) was genau meinen die hier mit einer

F_{p}

Basis??

(iii) brauch ich hier nicht die voraussetzung dass ich weiss was die Ordnung

H

hat ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

10:23 Uhr, 20.05.2020

Hallo,

lass uns mal ein Beispiel betrachten, aus dem du (i) und (ii)
verallgemeinern kannst:

n = 7, p = 3

S_{7}

hat

7!

Elemente. In der Berechnungsformel für

7!

tauchen die
beiden Faktoren

1 \cdot 3

und

2 \cdot 3

auf. Alle anderen Faktoren sind
nicht durch 3 teilbar.
Also haben die

3

-Sylowuntergruppen von

S_{7}

die Ordnung

3^{2} = 3 \cdot 3

Wir betrachten die

3

-er-Zykel

σ_{1} = (1 2 3)

und

σ_{2} = (4 5 6)

.
Diese bilden die Untergruppe

{σ_{1}^{r} σ_{2}^{s} : 0 \leq r, s \leq 2}

.
Die ist eine

3

-Sylowuntergruppe vom Isomorphietyp

Z_{3} \times Z_{3}

,
also elementar abelsch. Da die

3

-Sylowuntergruppen alle isomorph sind,
ist jede

3

-Sylowuntergruppe elementar abelsch.

Zu (iii) studiere dies:
www.mathematik.uni-muenchen.de/~gerkmann/stexaufg/aufg/stF03T1A5.pdf

Leider wird die angegebene Linkadresse gebrochen, also kopiere sie
und trage sie in das Adressfeld des Browsers ein.

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

13:35 Uhr, 22.05.2020

Hallo,
gibt's denn da noch eines Tages eine Rückmeldung oder war
mein Bemühen vergebens?

mega3636 aktiv_icon

13:39 Uhr, 22.05.2020

nein natürlich nicht ich hab mir gedanken dazu gemacht und was hingekritzelt. Mittlerweile habe ich auch ne Lösung gefunden danke für deine Mühe!

ermanus aktiv_icon

13:42 Uhr, 22.05.2020

Also bist du ja beruhigenderweise nicht verschollen ;-)
Sicher ist dir dann im ersten Teil auch die Gaussklammer

[\frac{n}{p}]

untergekommen ...

Gruß ermanus

mega3636 aktiv_icon

13:58 Uhr, 22.05.2020

Für

(i)

war das die Lösung.
Wir dividieren mit Rest und schreiben

n = m \cdot p + r

mit 0 ≤

r < p

.
Wegen

p^{2} > n = m \cdot p + r

≥

m \cdot p

Für die Ordnung

n!

von

S_{n}

haben wir folgende Zerlegung:

n! = 1

· · ·

p

· · ·

(2 p)

· · ·

(3 p)

· · · · · ·

((m

−

1) p)

· · ·

(m \cdot p)

· · ·

n,

wobei

p,2 p, ..., m \cdot p

die einzigen p-Vielfachen in

n!

sind.
Da nun

m < p

ist also

n! = p^{m} \cdot l

mit ggT(l,p)=1

\cdot m

Die p-Sylow Gruppen

H

haben also Ordnung

p^{m}

ermanus aktiv_icon

14:01 Uhr, 22.05.2020

Ja. So kompliziert kann man es denn auch ausdrücken ;-)
Es ist

m = [\frac{n}{p}]

...
Wie hast du denn (ii) gelöst?

ermanus aktiv_icon

14:22 Uhr, 22.05.2020

Nur damit du mich nicht missverstehst. Das war keine Kritik an deiner
Bestimmung von

m

. Ich wollte nur auf den griffigen Ausdruck
"Gauss-Klammer" hinweisen, weil diese in der Literatur
in ähnlichen Kontexten (Gruppentheorie, Zahlentheorie) immer
gern verwendet wird.
Also nochmal: du hast das

m

sehr klar verständlich hergeleitet :-)

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