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Ordnung, Automorphismengruppe, p-sylowgruppen

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Tags: Automorphismengruppe, Ordnung, p-Sylowgruppen

 
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mega3636

mega3636 aktiv_icon

19:31 Uhr, 19.05.2020

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Hallo zusammen,
ich hab hier eine Aufgabe, ich muss den ersten Teil bearbeiten können um den rest zu machen kann mir da jemand helfen.

Sei p>0 eine Primzahl und n<p2.
(i) Berechnen Sie die Ordnung der p-Sylow-Gruppen HSn.
(ii) Zeigen Sie, dass H elementar-abelsch ist, und geben Sie eine F_p-Basis an.
(iii) Bestimmen Sie die Ordnung der Automorphismengruppe Aut(H).

(i) ich weiss dass die Gruppe Sn Ordnung n! hat. Als Untergruppe müsste H die Gruppenordnung teilen nach Lagrange.
Allerdings weiss ich nicht wie ich hier weiter vorankomme.

(ii) was genau meinen die hier mit einer Fp Basis??

(iii) brauch ich hier nicht die voraussetzung dass ich weiss was die Ordnung H hat ?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

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10:23 Uhr, 20.05.2020

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Hallo,

lass uns mal ein Beispiel betrachten, aus dem du (i) und (ii)
verallgemeinern kannst:

n=7,p=3.

S7 hat 7! Elemente. In der Berechnungsformel für 7! tauchen die
beiden Faktoren 13 und 23 auf. Alle anderen Faktoren sind
nicht durch 3 teilbar.
Also haben die 3-Sylowuntergruppen von S7 die Ordnung 32=33
Wir betrachten die 3-er-Zykel σ1=(123) und σ2=(456).
Diese bilden die Untergruppe {σ1rσ2s:0r,s2}.
Die ist eine 3-Sylowuntergruppe vom Isomorphietyp Z3×Z3,
also elementar abelsch. Da die 3-Sylowuntergruppen alle isomorph sind,
ist jede 3-Sylowuntergruppe elementar abelsch.

Zu (iii) studiere dies:
www.mathematik.uni-muenchen.de/~gerkmann/stexaufg/aufg/stF03T1A5.pdf

Leider wird die angegebene Linkadresse gebrochen, also kopiere sie
und trage sie in das Adressfeld des Browsers ein.

Gruß ermanus
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ermanus

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13:35 Uhr, 22.05.2020

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Hallo,
gibt's denn da noch eines Tages eine Rückmeldung oder war
mein Bemühen vergebens?
mega3636

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13:39 Uhr, 22.05.2020

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nein natürlich nicht ich hab mir gedanken dazu gemacht und was hingekritzelt. Mittlerweile habe ich auch ne Lösung gefunden danke für deine Mühe!
Antwort
ermanus

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13:42 Uhr, 22.05.2020

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Also bist du ja beruhigenderweise nicht verschollen ;-)
Sicher ist dir dann im ersten Teil auch die Gaussklammer [np]
untergekommen ...

Gruß ermanus
Frage beantwortet
mega3636

mega3636 aktiv_icon

13:58 Uhr, 22.05.2020

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Für (i) war das die Lösung.
Wir dividieren mit Rest und schreiben
n=mp+r mit 0 ≤ r<p.
Wegen p2>n=mp+rmp

Für die Ordnung n! von Sn haben wir folgende Zerlegung:
n!=1 · · · p · · · (2p) · · · (3p) · · · · · · ((m1)p) · · · (mp) · · · n,
wobei p,2p,...,mp die einzigen p-Vielfachen in n! sind.
Da nun m<p ist also
n!=pml mit ggT(l,p)=1 m

Die p-Sylow Gruppen H haben also Ordnung pm.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:01 Uhr, 22.05.2020

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Ja. So kompliziert kann man es denn auch ausdrücken ;-)
Es ist m=[np] ...
Wie hast du denn (ii) gelöst?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:22 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Nur damit du mich nicht missverstehst. Das war keine Kritik an deiner
Bestimmung von m. Ich wollte nur auf den griffigen Ausdruck
"Gauss-Klammer" hinweisen, weil diese in der Literatur
in ähnlichen Kontexten (Gruppentheorie, Zahlentheorie) immer
gern verwendet wird.
Also nochmal: du hast das m sehr klar verständlich hergeleitet :-)