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Ordnung der Automorphismengruppe

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Körper

Tags: Automorphismus, Gruppen, Körper, Ordnung

mariem aktiv_icon

00:38 Uhr, 01.12.2016

Hallo,

sei

A u t (F_{p^{n}}^{⋆})

die Automorphismengruppe der Grupe

F_{p^{n}}^{⋆}

.
Ich will beseisen dass die Ordnung von

A u t (F_{p^{n}}^{⋆})

gleich

φ (p^{n} - 1)

ist.

Um das zu zeigen benutzen wir die Galoisgruppe und finden dessen Ordnung?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

ermanus aktiv_icon

09:52 Uhr, 01.12.2016

Hallo mariem,
es geht viel einfacher, als Du wohl gerade denkst.
Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers ist zyklisch.
Welche Automorphismen gestattet eine zyklische Gruppe?

mariem aktiv_icon

00:04 Uhr, 02.12.2016

Die Automorphismen bilden ein Erzeuger von der zyklische Gruppe zu ein Erzeuger von der zyklische Gruppe ab, oder nicht?

ermanus aktiv_icon

01:06 Uhr, 02.12.2016

Genau! Daher muss man nur wissen, wieviele Erzeuger die Gruppe hat ...

mariem aktiv_icon

04:30 Uhr, 02.12.2016

F_{p^{n}}^{⋆}

ist die multiplikative Gruppe des endlichen Körpers

F_{p^{n}}

F_{p^{n}}^{⋆}

hat

p^{n} - 1

Elemente.
Sei

F_{p^{n}}^{⋆} = {1, x, x^{2}, \dots, x^{p^{n} - 2}}

dann ist

x^{i}

ein Erzeuger genau dann, wenn

g g T (i, p^{n} - 1) = 1

. Die Anzahl von diesen

i

ist die eulersche Phi-Funktion

φ (p^{n} - 1)

.
Ist das richtig?

mariem aktiv_icon

04:37 Uhr, 02.12.2016

Gilt folgendes?

Wenn

K

irgendein Körper ist und

f

ein Automorphismus von

K

, dann wenn man das

f

auf die multiplikative Gruppe

K^{⋆}

begrenzt, ist es ein Automorphismus dieser Gruppe.

Falls ja, warum? Folgt es von den oben ernannnte Satz? Gilt es aber nicht nur für endliche Körper?

mariem aktiv_icon

04:37 Uhr, 02.12.2016

Gilt folgendes?

Wenn

K

irgendein Körper ist und

f

ein Automorphismus von

K

, dann wenn man das

f

auf die multiplikative Gruppe

K^{⋆}

begrenzt, ist es ein Automorphismus dieser Gruppe.

Falls ja, warum? Folgt es von den oben ernannnte Satz? Gilt es aber nicht nur für endliche Körper?

ermanus aktiv_icon

11:18 Uhr, 02.12.2016

hallo mariem,
Deine Formel ist so richtig. Dass übrigens ein Körperautomorphismus einen
Gruppenautomorphismus in

K^{*}

induziert, ist selbstverständlich. Umgekehrt
gilt dies natürlich nicht.
Gruß ermanus

mariem aktiv_icon

12:24 Uhr, 02.12.2016

Warum gilt es dass ein Körperautomorphismus einen Gruppenautomorphismus in

K^{⋆}

induziert?

ermanus aktiv_icon

12:29 Uhr, 02.12.2016

Sei

f : K \to K

ein Körperautomorphismus, dann gilt doch

\forall a, b \in K : f (a b) = f (a) f (b)

, ferner gilt

a \neq 0 \overset{}{\Leftrightarrow} f (a) \neq 0

und

f

ist auch bijektiv.

mariem aktiv_icon

13:06 Uhr, 02.12.2016

Achso... Also wir haben dann dass folgendes gilt

\forall a, b \in K^{⋆} = K \ {0} : f (a b) = f (a) f (b)

und

f

is bijektiv.
Also ist

f : K^{⋆} \to K^{⋆}

ein Gruppenautomorphismus.

Ist das richtig?

Ich will eine Untergruppe von

A u t (F_{p^{n}}^{⋆})

finden die Ordnung

n

hat. Muss man das oben ernannte Ergebnis benutzen?
Also müssen wir ein Körperautomorphismus

f : F_{p^{n}} \to F_{p^{n}}

finden?

ermanus aktiv_icon

13:22 Uhr, 02.12.2016

Das ist richtig.

Aber man kann nicht davon ausgehen, dass ein Gruppenautomorphismus
von einem Körperautomorphimus herkommt.
Es gibt doch

φ (p^{n} - 1)

verschiedene Elemente von

A u t (K^{*})

, aber nur

n

Körperautomorphismen.

Trotzdem klappt es hier auf diese Weise. Betrachte mal
den Körperautomorphismus

K \to K, x \to x^{p}

.
Welche Ordnung hat der?

mariem aktiv_icon

17:53 Uhr, 04.12.2016

Sei

f : F_{p^{n}} \to F_{p^{n}}

mit

x \mapsto x^{p}

.
Wir haben folgendes:

f (x) = x^{p}, f^{2} (x) = (x^{p})^{p} = x^{p^{2}}, f^{3} (x) = x^{p^{3}}, \dots, f^{n} (x) = x^{p^{n}} = x

Also die Ordnung von

f

ist

n

.

Also ist eine Untergruppe von

A u t (F_{p^{n}}^{⋆})

mit Ordnung

n

die

〈 f 〉

mariem aktiv_icon

17:53 Uhr, 04.12.2016

Sei

f : F_{p^{n}} \to F_{p^{n}}

mit

x \mapsto x^{p}

.
Wir haben folgendes:

f (x) = x^{p}, f^{2} (x) = (x^{p})^{p} = x^{p^{2}}, f^{3} (x) = x^{p^{3}}, \dots, f^{n} (x) = x^{p^{n}} = x

Also die Ordnung von

f

ist

n

.

Also ist eine Untergruppe von

A u t (F_{p^{n}}^{⋆})

mit Ordnung

n

die

〈 f 〉

ermanus aktiv_icon

22:01 Uhr, 04.12.2016

Ja, so sehe ich das :-)

mariem aktiv_icon

23:30 Uhr, 04.12.2016

Was meine erste Frage angeht... Wir haben gezeigt dass es

φ (p^{n} - 1)

Erzeuger gibt. Bedeutet es dass es

φ (p^{n} - 1)

Automorphismen gibt?

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