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Ordnungsrelationen auf Z/(n)

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Ordnungsrelation, Relation.

 
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Vice-sin

Vice-sin aktiv_icon

15:06 Uhr, 03.12.2011

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Hallo zusammen,
ich hänge an folgender Aufgabe:
Es sei n≥1 eine natürliche Zahl. Für ein x∈ℤ sei [x] ?in ℤ/(n) die zugehörige Restklasse. Wir nennen eine Ordnungsrelation ≤ auf ℤ/(n) mit der Addition verträglich, falls für x,y∈ℤ aus [x]≤[y] folgt, dass [x+z]≤[y+z] für alle z∈ℤ gilt.
(a) Bestimmen Sie die Anzahl aller totalen Ordnungsrelationen auf ℤ/(n).
(b) Bestimmen Sie alle mit der Addition verträglichen, totalen Ordnungsrelationen ≤ auf ℤ/(n).

Also eine totale Ordnungsrelation ist ja eine Ordnungsrelaiton (also reflexiv, antisymmetrisch und transitiv) bei der alle Elemente miteinander vergleichbar sind, d.h. ∀a,b∈R: aRb oder bRa.
Habe aber nun irgendwie keine Ahung wie ich auf die Anzahl kommen soll - bei endlichen Mengen (mit wenigen Elementen) konnte man sich ja einfach alle "theoretisch in betracht kommenden Relationen" anschauen und dann schauen wie viele davon dann wirklihc die besagten Eigenschaften/Kriterien erfüllen...aber nun habe ich ja mit ℤ/(n) eine unendliche Menge, was das dann ein bisschen schwer macht.
Wie gehe ich also dann an die Aufageb heran?
Vielen Dank für die Hilfe schonmal
Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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hagman

hagman aktiv_icon

15:54 Uhr, 03.12.2011

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Zu (a): Jede totale Ordungsrelation bringt die Restklassesn [0],[1],...,[n-1] in eine bestimmte Reihenfolgenanordnung und umgekehrt bestimmt eine beliebige Anordnung der Restklassen auf ihnen eine Totalordnung. Das wären dann n! Totalordnungen.

Zu (b): Betrachte zunächst den Fall n=1 "zu Fuß": Hier gibt es genau eine geeignete Relation.
Falls dagegen n≥2, gilt auf jeden Fall [0]≠[1]. Es müsste also entweder [0]<[1] oder [1]<[0] gelten. Betrachte zunächst den Fall [0]<[1]. Wegen der Verträglichkeit folgt [k]<[k+1] für alle k∈ℤ. Zeige hiermit per Induktion, dass [0]<[k] für alle k∈ℕ. Insbesondere folgt [0]<[n]=[0], ein Widerspruch. Der Fall [1]<[0] geht analog
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