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Orthogonal Abbildungen
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Lineare Abbildungen
Tags: Eigenwert, Lineare Abbildungen, orthogonale Abbildungen
 
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Hallo, ich hab ein Problem bei einer kleinen Aufgabe: Sei eine Basis des euklidischen Vektorraums V. Zu zeigen: Eine lineare Abbildung von in sich ist genau dann orthogonal, wenn ist. Ich hab zwei Gedankengänge, die vielleicht zum Ergebnis führen: Die Gleichung bedeutet ja, dass die Gramschen Matrizen gleich sein müssen. Wenn ich nun eine ONB bilde von der Basis, dann ist die Gramsche Matrix bezüglich der ONB das Standardskalarprodukt . ii) ist ein Endomorphismus. Ich müsste mir also einfach anschauen, für welche Eigenwerte die obige Gleichung überhaupt stimmt. Beides zielt darauf ab dass ich die EW oder rausbekomme. Alle anderen sind nicht zulässig. Ergo: Othogonale Matrix. Ich führe mal ii) aus. Da ein Endomorphismus ist, also insbesondere linear, gilt zu einem Eigenwert mit aus <f(v),f(w)>=<tv,tw>=t²<v,w>=<v,w> . daraus ergibt sich t²=1, also bzw Damit hat nur die EW 1 und was gleichbedeutend damit ist, dass die darstellende Matrix von bezüglich einer Basis orthognal ist. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hm, du sollst zeigen, dass orthogonal für alle gilt ? Da stellt sich die Frage, wie ihr "orthogonale Abbildung" definiert, denn dies *ist* die übliche Definition |
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So ist es . eigentlich ist das die übliche Definition. Nur soll ich hier das eben zeigen, obwohl wir eben orthogonale Abbildungen so definiert haben. Was anderes als die Eigenwerte mir anzuschauen fällt mir nicht wirklich ein. Man könnte natürlich wie in beschrieben darauf kommen, dass mit einer ONB die Gramsche Matrix die Einheitsmatrix ist. Dann muss auch die Einheitsmatrix sein, was wiederrum bedeutet, dass ONB auf ONB abgebildet werden muss, was also einer Rotation oder Spiegelung maximal entspricht. Die Struktur muss ja erhalten bleiben. |
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Wenn ihr den Begriff orthogonale Abbildung so definiert habt, ist wirklich nichts zu zeigen. Bitte ggf. die Formuliereung der Definition und der Aufgabenstellung nochmals buchstabengetreu durchlesen. |
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Alles klar. Keine Sorge, Aufgaben les ich immer x-Mal durch bevor ich anfange. Was oben steht ist wortwörtlich zu nehmen. Dann hat der Aufgabensteller wohl versagt. |
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