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Orthogonalbasis bestimmen?
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrizenrechnung, Orthogonalbasis
 
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Sei und . Sei die Standardbasis der Einheitsvektoren von und die Bilinearform mit Soll eine Matrix sein. Bestimmen sie die Orthogonalbasis von V. Verstehe leider die Aufgabe kaum und Gram-Schmidt darf man hier anscheinend auch nicht verwenden. Wäre für jede hilfe dankbar. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ich kann die Matrix nicht lesen. Sicher ist nur, dass es ja wohl eine 3x3-Matrix sien müsste. > Gram-Schmidt darf man hier anscheinend auch nicht verwenden. Wieso nicht? Vermutlich(!) sollst du eine Orthonormalbasis bzgl. angeben. Dann musst du genau Gram-Schmidt anwenden. Nur das Standardskalarprodukt muss dann eben gegen ausgetauscht werden. Genaueres nur, wenn du einen Scan der Originalaufgabenstellung postest. Mfg Michael |
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Hier ein Bild von der Aufgabe. Mir wurde eklärt, dass das Gram-Schmidt verfahren nicht verwendet werden darf, weil die Diagonale eine 0 enthält.  |
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Hallo, hm, das sehe ich nicht unbedingt ein. Vielleicht gibt es nur wenige (evtl. nur eine einzige) Basen, die bzgl. orthogonal sind. Dann müsste man schon Glück haben, und mit dem ersten Vektor geeignet treffen. Du könntest also alternativ die Matrix so umformen, dass eine Diagonalmatrix herauskommt (müsste bei symmetrischen Matrizen immer gehen), quasi so etwas wie eine Cholesky-Zerlegung, nur, dass die Einträge nicht alle nicht negativ sein müssen. Kommt das bekannt vor? Mfg Michael |
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Hallo, man kann es am schnellsten so machen: wir konstruieren eine Matrix aus bzgl. orthogonalen Vektoren durch sukzessive "Scherungen", so dass Diagonalgestalt hat: 1. 1. Zeile zur 2. addieren: dann 1. Spalte zur 2. Spalte addieren . Es ist 2. das 2-fache der 2. Zeile von der 3. Zeile abziehen, dann das 2-fache der 2. Spalte von der 3. Spalte abziehen: . Nun ist . Die Spalten von sind dann eine Orthogonalbasis. Gruß ermanus |
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@MichaL: Sicher kann man über eine Orthonormalbasis finden, mit der man in Diagonalform bringen kann. Nur ist die Frage, ob die Normierungen der Vektoren durchgeführt werden können, da wir in sind. Gruß ermanus |
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Hallo, habe noch mal über eine Orthonormalbasis für diese spezielle Matrix nachgedacht (Hauptachsentransformation): die Eigenwerte sind sämtlich verschieden und die zugehörigen Eigenvektoren sind ja dann orthogonal und in unserem Falle können wir sie sogar rational normieren. Aber eine Orthogonalmatrix bzgl. muss ja nicht auch eine Orthonormalbasis bzgl. des Standardskalarprodukts sein. Daher habe ich mich gar nicht der Mühe mit den Eigenwerten und Eigenvektoren unterzogen. Gruß ermanus |
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Hallo, ermanus schrieb: > wir konstruieren eine Matrix S aus bzgl. β orthogonalen Vektoren > durch sukzessive "Scherungen", so dass STBS Diagonalgestalt hat Das war es, was ich mit >> quasi so etwas wie eine Cholesky-Zerlegung, nur, dass die Einträge nicht alle nicht negativ sein müssen. meinte. Scherung kenne ich in diesem Zusammenhang nicht. Ich habe gestern gar nicht gerechnet. Ich will zunächst nur auf die Spur helfen. Rechnen nur dann, wenn gar nichts anderes mehr geht (manchmal tue ich das vorher, gestern war diesbezüglich keine Motivation mehr). Insofern habe ich genau diese Fragen (Diversität der EW, Normierbarkeit, Durchführbarkeit von Gram-Schmidt etc) nicht weiter verfolgt. Auch im Studium muss es noch um's Probieren (und konsequenterweise Irren) gehen. Sonst ist es wieder wie in der Schule. :-) Mfg Michael |
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Hallo, Michael schrieb: "Auch im Studium muss es noch um's Probieren (und konsequenterweise Irren) gehen. Sonst ist es wieder wie in der Schule. :-)" Das ist auch ganz und gar meine Meinung :-) Dennoch habe ich gestern um 22:26 Uhr vielleicht ein bisschen zu viel "vorgerechnet". Mir ging es dabei um folgendes Problem: ich habe immer wieder festgestellt, dass Studenten und Studentinnen der Unterschied zwischen kongruenten Matrizen und ähnlichen Matrizen nicht klar ist. Daher fühlen sie sich bisweilen nicht in der Lage, eine beliebige endlichdimensionale symmetrische Bilinearform in Diagonalgestalt zu transformieren (, wenn der zugrundeliegende Körper eine Charakteristik hat) . Häufig denken sie dann an soetwas wie Hauptachsentransformation, was aber eine ganz andere Fragestellung ist, weil man bei einer solchen sowohl Kongruenz als auch Ähnlichkeit zu erzwingen versucht. Im vorliegenden Fall war nicht als "Ersatz" für das Standardskalarprodukt geeignet, da nicht positiv definit ist, worauf die 0 in der Diagonale hinweist. Daher kann man Gram-Schmidt nicht mit dem "Skalarprodukt" durchführen. Unter "Scherung" verstehe ich die elementare Zeilen-/Spaltenoperation, die ein Vielfaches einer Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte addiert. Geometrisch ist das eine Scherung des von den Zeilen / Spalten aufgespannten Parallelotops. @Bokeni: hast du denn schon b) angefangen oder gelöst? Gruß ermanus |
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