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Orthogonale Diagonalisierbarkeit

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Diagonalisierbarkeit, Diagonalmatrix, Matrizenrechnung, orthogonale Matrix, Symmetrische Matrix

Froog

12:17 Uhr, 31.08.2020

Hallo,
ich habe eine reelle, symmetrische Matrix

M

gegeben. Ich kann sie nun orthogonal diagonalisieren. D.h. es gibt eine orthogonale Matrix

Q

,sodass

Q^{T} M Q = D

, wobei

D

die Diagonalmatrix ist mit den Eigenwerten von

M

auf der Hauptdiagonalen.

Angenommen

M

hat

α

positive und

β

negative Eigenwerte.
Kann ich dann eine Matrix

P

finden, sodass

P^{T} M P = \tilde{D}

, wobei

\tilde{D}

Diagonalmatrix mit

{\tilde{d}}_{i i} = {\begin{array}{ll} 1 & i \in {1, . . ., α}, \\ - 1 & i \in {α + 1, . . ., α + β}, \\ 0 & i > α + β, \end{array}

Ist dann

P

sogar eine orthogonale Matrix?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

12:34 Uhr, 31.08.2020

Hallo,

ja, grundsätzlich treten die Eigenwerte in der Diagonalmatrix in derselben Reihenfolge auf, wie die zughörigen Eigenvektoren in der Transformationsmatrix

Q

bzw. P.

Gruß pwm

Froog

14:12 Uhr, 31.08.2020

Hmm also ist

P

orthogonal? Kann ich

P

mithilfe von

Q

ausdrücken, zB.

P = Q B

, wobei

B

eine Diagonalmatrix mit positiven Einträgen ist?

ermanus aktiv_icon

15:00 Uhr, 31.08.2020

Hallo,

P

wird i.a. nicht orthogonal sein:
die Spalten von

P

werden zwar ein Orthogonal-,
nicht aber ein Orthonormalsystem bilden, wenn
es einen Eigenwert

\notin {- 1, 0, 1}

gibt.
Deine Matrix

B

ist eine Diagonalmatrix mit den Einträgen

b_{i i} = \frac{1}{\sqrt{∣ d_{i i} ∣}}

für

i \leq α + β

und

b_{i i} = 0

für

i > α + β

.
Gruß ermanus

Froog

15:10 Uhr, 31.08.2020

Vielen Dank!

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