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Orthogonale Kurvenschar berechnen

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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St.Maritime

St.Maritime aktiv_icon

00:58 Uhr, 05.02.2014

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Hi,

ich soll zu

y^{2} = 4 (x - a)

die orthogonale Kurvenschar berechnen.

Orthogonal heisst ja bekanntlich nicht tangential zu der Parabel sondern senkrecht zu einem Punkt in der Parabel.

Kurvenschar heisst, dass es wieder eine Funktion sein muss mit einer Konstanten.

Geschrieben ist das Ganze dann

\frac{1}{y}

D . h

. ich müsste die erste Ableitung dazu finden und diese dann von

\frac{1}{y}

auf

y

umstellen,
richtig?

Meine Ableitung bis dahin wäre

y' = \frac{1}{2 \sqrt{4 x - 4 a}}

Kann mir jemand nen Tip geben, wie ich da ran gehen sollte?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

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Atlantik

Atlantik aktiv_icon

03:52 Uhr, 05.02.2014

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y^{2} = 4 (x - a) = 4 x - 4 a

y_{1,2} = \pm \sqrt{4 x - 4 a}

[\pm \sqrt{4 x - 4 a}]

´

= \pm \frac{4}{2 \sqrt{4 x - 4 a}} = \pm \frac{2}{\sqrt{4 x - 4 a}}

Wie es dann aber weiterginge, weiß ich nicht.

mfG

Atlantik

St.Maritime

St.Maritime aktiv_icon

19:08 Uhr, 05.02.2014

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Hi Atlantik,

danke für den Ansatz. Eine Frage woher kommt die 4 im Zähler?

Bin noch nicht weiter, leider.

Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

19:12 Uhr, 05.02.2014

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Du musst die

4 \cdot x - 4 a

unter der Wurzel auch ableiten und in den Zähler setzen.

mfG

Atlantik

Antwort

rundblick

rundblick aktiv_icon

20:19 Uhr, 05.02.2014

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betrachte erst mal nur die oberhalb der x-Achse liegenden Hälften der Parabelschar

also

y = + 2 \cdot \sqrt{x - a}

..........(wobei

x \geq a)

\Rightarrow y' = \frac{1}{\sqrt{x - a}}

damit ist klar, dass die Schar der orthogonalen Trajektorien die Steigung

y' = - \sqrt{x - a}

haben müsste, was durch Integration zu der Kurvenschar

(c \in R;

zB mit

c > 0

wenn

a > 0) \to

y = - \frac{2}{3} \cdot {(\sqrt{x - a})}^{3} + c

führt..(wie gesagt:"oberhalb der x_Achse")

die noch fehlenden Überlegungen bekommt ihr zwei nun sicher noch selbst auf die Reihe ..

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