Orthogonale Matrix

Hallo,

Ich hab hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomm:

Die gegebene Matrix A kann auf zwei Arten zu einer Orthogonalen Matrix ergänzt werden. Wie lauten diese?. Berechnen Sie jeweils die Determinanten von A. Bestimmen Sie für den Fall einer Drehung Drehwinkel und Drehachse.

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{2}& 1\sqrt{6}\\ \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& -1/\sqrt{2}& \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 0& \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)}$

Für a,b,c,d hab ich durch lösen des Gleichungssystems Transpose[A]*A=Einheitsmatrix

Also für A1 gilt (A2 hab i mal weggelassen, weil es sich um eine spiegelung um eine ebene handelt):

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{\frac{2}{3}}} \end{gathered}$$

Aber nun weiß i net wie ich den drehwinkel berechnen soll?

Det[A]=1: das heißt doch dass, es sich um eine drehmatrix handelt.

Mit der Erklärung auf wikipedia komm ich nicht zurecht.

Was wird hier eigentlich gedreht? wenn ich z.b. die einheitsmatrix mit der drehmatrix multipliziere, beschreibt dies dann die drehung der einheitsmatrix um den zu berechnenden winkel?

Weiß jemand eine Seite wo dieses thema ordentlich beschrieben ist?

Danke

Hallo,

berechne die Drehachse aus Av=v, Wähle dann ein u orthogonal zu v ${\displaystyle (\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\circ \mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0)}$.

Au und u schließen dann den Drehwinkel ein ${\displaystyle (\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\circ \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left|\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|\cdot \left|\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|\cdot \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ . Der Drehwinkel ist positiv, wenn v, u und Au ein Rechtssystem bilden ${\displaystyle (\mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>})>0)}$.

Die Matrix beschreibt eine Drehung um die Ursprungsachse kv, die jeden Punkt des IR³ um den Winkel ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ um diese Achse dreht.

Gruß

Stephan

Wie berechnet man denn die Drehachse Av=v?

Hab da wohl etwas grundlegendes nicht verstanden :(, Av heißt das nun Matrix A mal einem Vektor v oder A zur basis v?

Beachte, dass die Punkte der Drehachse Fixpunkte sind. Wenn Du also den Ortsvektor eines Punktes v abbildest, nämlich A*v bildest, muss wieder v herauskommen.

Allerdings ist die von Dir angegebene Lösung für A nicht zu gebrauchen, da Dein A Determinante -1 hat.

Natürlich nicht, denn das v links ist dasselbe wie rechts, also:

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& -\sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\\ {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\\ {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\\ {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\\ {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\end{array}\right)}$

oder halt

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}-1& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}-1& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& -\sqrt{\frac{2}{3}}-1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\\ {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\\ {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$

Natürlich ist (0,0,0) eine mögliche Lösung, aber sie nutzt uns nichts. Finde also eine andere.

Also ich habe ${\displaystyle \mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \left(\begin{array}{c}\sqrt{3}+\sqrt{2}\\ \sqrt{6}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\\ 1\end{array}\right)}$ und das passt nicht zu Deinem Ergebnis.

Ausgehend von ${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)}$ lautet die erste Zeile

ax+by+cz=x | -x

(a-1)x+by+cz=0

die zweite zeile

dx+ey+fz=y | -y

dx+(e-1)y+fz=0

die dritte zeile

gx+hy+kz=z | -z

gx+hy+(k-1)z=0

Jetzt wieder als Matrix schreiben

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1& \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1& \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$