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Orthogonale Matrix zu einer anderen finden

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Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung

TimMaier aktiv_icon

13:15 Uhr, 19.04.2019

Guten Tag zusammen,

meine Aufgabe ist es zu der Matrix

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & - 2 \\ 2 & - 2 & 1 \end{matrix})

eine orthogonale Matrix

C

zu finden, so dass

C^{T} \cdot A \cdot C

eine Diagonalmatrix ist.

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
-Eigenwerte bestimmen. Doppelter Eigenwert 3 und einfacher Eigenwert

- 3

. Sollte soweit laut online Rechnern auch noch stimmen.

-Eigenvektoren bestimmen. Für 3 kam ich auch

(\begin{matrix} x_{2} + x_{3} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \cdot k; k \neq 0

und für

- 3

auf

(\begin{matrix} x_{1} \\ - x_{1} \\ - x_{1} \end{matrix}) \cdot k; k \neq 0

wobei

x_{1}, x_{2}

und

x_{3}

jeweils frei wählbar sind.

-Um

C

zu bestimmen muss ich nun konkrete Werte in die Vektoren einsetzen, wobei ich für den doppelten EW zwei Vektoren brauche, die lin. unabhänig voneinander sind.
Für

x_{2} = 1

und

x_{3} = 0

bzw umgekehrt bekommt man

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und für

x_{1} = 1 (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

. Die Vektoren setzt man dann zu

C

zusammen :

C = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \end{matrix})

-Als nächstes muss man

C

normieren und kommt dann auf:

C = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & - \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix})

und

C^{T} = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix})

-Nun bleibt ja eigentlich nur noch übrig

C \cdot A

auszurechnen und das Ergebnis dann wieder mal

C^{T}

zu rechnen und es sollte eigentlich eine Diagonalmatrix heraus kommen. Ich komme allerdings auf

(C \cdot A) \cdot C^{T} = (\begin{matrix} 2 & 2,5 & 1 \\ 2,5 & 2 & - 0,5 \\ 2 - \frac{1}{\sqrt{1,5}} & (\frac{1}{1,5}) - (\frac{0,5}{\sqrt{1,5}}) & 1 \end{matrix})

Was offensichtlich nicht einmal Ansatzweise eine Diagonalmatrix ist. Ich habe meine Rechenwege mehrmals überprüft und finde soweit eigentlich keinen Fehler. Ich hab sogar die ganze Aufgabe noch einmal von vorne gerechnet, mit jedoch dem selben Ergebnis.

Es wäre sehr nett, wenn mir vielleicht jemand helfen kann, denn ich weiß nicht, wo mein Fehler liegt.

MfG Tim

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

13:37 Uhr, 19.04.2019

Hallo,
du musst für den Eigenraum zum Eigenwert

3

eine Orthonormalbasis von
Eigenvektoren bestimmen, indem du z.B. aus deiner gefundenen Eigenvektorbasis
per Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren eine orthonormale
Basis des Eigenraums berechnest.
Gruß ermanus

TimMaier aktiv_icon

14:30 Uhr, 19.04.2019

Ich muss zugeben, dass das ein paar viele Fachbegriffe waren, die mir gerade nicht wirklich viel sagen aber ich versuch es trotzdem mal.

Der zu 3 gehörige Eigenvektor war ja

(\begin{matrix} x_{2} + x_{3} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

heißt man findet die linear unabhängigen Eigenvektoren

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

sowie all deren Vielfachen, was ja den Eigenraum von 3 bildet :

E_{A} (3) = {k \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), k \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), k \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) | k \in ℝ}

Zu diesem Eigenraum soll ich nun eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren bestimmen, indem ich aus meiner gefundenen Eigenvektorbasis per Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren eine orthonormale Basis des Eigenraums berechne.

Meine Eigenvektorbasis zu 3 wäre dann ja

E = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}

.

Also wende ich auf

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Das Gram-Schmidt Verfahren an.

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

auf Länge 1 normiert ergibt

u_{1} = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

u_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - < (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}) > \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

damit ist

u_{2} = (\begin{matrix} - 0,5 \\ 1 \\ 0,5 \end{matrix})

bzw auf 1 normiert ist

u_{2} = (\begin{matrix} - \frac{0,5}{\sqrt{1,5}} \\ \frac{1}{\sqrt{1,5}} \\ \frac{0,5}{\sqrt{1,5}} \end{matrix})

u_{3} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - < (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - \frac{0,5}{\sqrt{1,5}} \\ \frac{1}{\sqrt{1,5}} \\ \frac{0,5}{\sqrt{1,5}} \end{matrix}) > \cdot (\begin{matrix} - \frac{0,5}{\sqrt{1,5}} \\ \frac{1}{\sqrt{1,5}} \\ \frac{0,5}{\sqrt{1,5}} \end{matrix}) - < (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}) > \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

damit ist

u_{3} = (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ - \frac{2}{3} \end{matrix})

bzw auf 1 normiert

u_{3} = (\begin{matrix} \frac{2}{3 \cdot \sqrt{\frac{4}{3}}} \\ \frac{2}{3 \cdot \sqrt{\frac{4}{3}}} \\ - \frac{2}{3 \cdot \sqrt{\frac{4}{3}}} \end{matrix})

TimMaier aktiv_icon

14:33 Uhr, 19.04.2019

Heißt die Orthonormalbasis wäre

O = {(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}), (\begin{matrix} - \frac{0,5}{\sqrt{1,5}} \\ \frac{1}{\sqrt{1,5}} \\ \frac{0,5}{\sqrt{1,5}} \end{matrix}), (\begin{matrix} \frac{2}{3 \cdot \sqrt{\frac{4}{3}}} \\ \frac{2}{3 \cdot \sqrt{\frac{4}{3}}} \\ - \frac{2}{3 \cdot \sqrt{\frac{4}{3}}} \end{matrix})}

Was mache ich nun mit dieser Orthonormalbasis ? Also was hat sie mir im Blick auf die Aufgabe gebracht ?

Dazu kommt noch, die Aufgabe ist Teil eines Übungsblattes, wir hatten noch nie eine SO aufwendige Aufgabe und sie scheint wenn ich das alles wirklich brauchen sollte um einiges einiges außerhalb der Proportionen zu liegen. Es muss doch einen einfacheren Weg geben diese Aufgabe zu lösen, sonst hab ich die anderen 3 Aufgaben auf einem Blatt gelöst bekommen und für diese allein 3 Seiten gebraucht. Das scheint mir einfach nicht richtig.

pwmeyer aktiv_icon

15:42 Uhr, 19.04.2019

Hallo,

wie Ermanus schon geschrieben hat, musst Du eine Orthonormalbasis für den Eigenraum zum EW

λ = 3

suchen (nur).

D . h

. Du nimmst

z . B

. den Vektor

v := (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und suchst einen weiteren der Form

w = s \cdot v + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

mit der Bedingung, dass

v

und

w

orthogonal sind. Dann normierst Du die.

Gruß pwm

TimMaier aktiv_icon

16:24 Uhr, 19.04.2019

Vielen Dank für die Antworten aber das was du jetzt beschrieben hast ist doch etwas völlig anderes als das, was Ermanus geschrieben hat mit dem Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren. Ich hab ja jetzt am Ende sogar eine Orthonormalbasis heraus aber weiß immer noch nicht, was ich mit dieser Anfangen soll, da ich ja nach wie vor

C \cdot A \cdot C^{T} =

Diagonalmatrix lösen soll und Orthonormalbasis, Gram-Schmidt Verfahren usw sind weder Sachen die bisher in der Vorlesung gezeigt wurden noch in einer Übung oder ähnlichem vorkamen

. .

pwmeyer aktiv_icon

18:07 Uhr, 19.04.2019

Hallo,

- es geht um

C^{T} \cdot A \cdot C,

und nicht um

C \cdot A \cdot C^{T},

wie Du zuletzt gesagt hast.

- Dafür muss

C

als Spalten eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren haben.

- Du hast 2 Eigenräume. Der eine (zu

λ = - 3)

liefert Dir einen Eigenvektor, den Du nur normieren brauchst.

- Der andere Eigenraum ist 2-dimensional. Du musst daher eine Orthogonal-Basis bestimmen, durch das Gram-Schmidt-Verfahren, durch einen direkten Ansatz (wie ich aufgeschrieben habe, was aber nicht anders als GSV ist) oder durch simples Zurechtfummeln.

Dann liefert

C^{T} \cdot A \cdot C

eine Diagonalmatrix, nämlich die aus den Eigenwerten in der Reihenfolge, wie die Orthonormalbasis in

C

erscheint. Das ist aufgrund der Konstruktion garantiert und braucht nicht nachgerechnet werden - es sei denn zur Probe.

Gruß pwm

TimMaier aktiv_icon

15:32 Uhr, 21.04.2019

Also so wie ich das jetzt verstanden hab brauche ich um

C

zu bilden einmal den Eigenvektor vom Eigenwert

- 3

und dann zwei Eigenvektoren von

3,

die sowohl linear unabhängig sind als auch orthogonal zueinander stehen und alle drei Vektoren dann noch normiert. Orthonormalbasis, Gram-Schmidt-Verfahren etc. sagen mir wie gesagt nichts, daher hab ich mich versucht so da durch zu hangeln.

Ich hab also meine allgemeine Form für den Eigenvektor von 3 genommen

(\begin{matrix} x_{2} + x_{3} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

und hab allgemein das Skalarprodukt aus zweien gebildet um zu gucken, wie ich zwei orthogonale Vektoren am Besten bekomme

< (\begin{matrix} a + b \\ a \\ b \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} c + d \\ c \\ d \end{matrix}) > = (a + b) \cdot (c + d) + a \cdot c + b \cdot d = 0

.

Durch umstellen kam ich dann darauf, dass wenn ich für

a = 0

wähle ich

b

beliebig wählen kann und für

c

und

d

muss dann gelten

c = - 2 \cdot d

und so kam ich dann auf die Vektoren

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 2 \end{matrix})

welche orthogonal zueinander sind, linear unabhängig sind und jeweils die allgemeine Form für Eigenvektoren von 3 erfüllen.

Damit konnte ich dann

C

bilden

(\begin{matrix} 1 & - 2 & 1 \\ 0 & - 4 & - 1 \\ 1 & 2 & - 1 \end{matrix})

was ich nun noch normieren muss und somit auf :

(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{2}{\sqrt{24}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & - \frac{4}{\sqrt{24}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{\sqrt{24}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix})

für

C

komme bzw.

(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{2}{\sqrt{24}} & - \frac{4}{\sqrt{24}} & \frac{2}{\sqrt{24}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} & - \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix})

für

C^{T}

.

Bevor ich jetzt die ätzenden Multiplikationen

C \cdot A

und dann

(C \cdot A) \cdot C^{T}

mache und dann wieder keine Diagonalmatrix heraus bekomme wollte ich daher noch einmal fragen, ob dieses

C

jetzt richtig gewählt ist ?

MfG Tim

ermanus aktiv_icon

15:49 Uhr, 21.04.2019

Hallo,
das sieht gut aus. Ich würde

C

aber eher so schreiben:

C = \frac{1}{\sqrt{6}} (\begin{array}{ccc} \sqrt{3} & - 1 & \sqrt{2} \\ 0 & - 2 & - \sqrt{2} \\ \sqrt{3} & 1 & - \sqrt{2} \end{array})

.

Damit lässt sich doch viel besser rechnen :-)

Gruß ermanus

TimMaier aktiv_icon

16:04 Uhr, 21.04.2019

Es freut mich schon mal tierisch zu hören, dass ich endlich ein korrektes

C

habe und vielen Dank für die Vereinfachung!

Ich hab

(C \cdot A) \cdot C^{T}

jedoch jetzt ausgerechnet und komme auf

(\begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & - 2 \\ 2 & - 2 & 1 \end{matrix})

was ja die Ausgangsmatrix A und keine neue Diagonalmatrix ist. Ich hab das ganze auch vorsichtshalber nochmal von einem online Rechner nachrechnen lassen aber er kommt auf das selbe Ergebnis. Ist mein

C

also doch falsch ?

MfG Tim

ermanus aktiv_icon

16:07 Uhr, 21.04.2019

Du hast wohl pwmeyers Beitrag vom 19.04. um 18:07 ignoriert???

ermanus aktiv_icon

16:15 Uhr, 21.04.2019

Also, wenn ich

C^{T} A C

rechne, kommt diag(

3, 3, - 3

) heraus !

TimMaier aktiv_icon

16:34 Uhr, 21.04.2019

Perfekt, jetzt habe ich das auch raus!
Danke nochmal

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