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Orthogonale Projektion

Universität / Fachhochschule

Tags: orthogonal

Schok aktiv_icon

21:13 Uhr, 15.07.2018

Aufgabenstellung:

Geben Sie die Matrix an mit der die Vektoren des

R^{2}

orthogonal auf die Gerade

x 2 = - x 1

pojiziert werden.

Frage:
Wie sieht schon mal die Gerade aus?
Was ist mit

x 1

? Brauch ich das
Und wie berechnet man dann eine solche Matrix

Ich hoffe Ihr könnt mir weiter Helfen :-)

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

22:24 Uhr, 15.07.2018

Hallo,

> Wie sieht schon mal die Gerade aus?

Nun, das ist Stoff der Klasse 8 (in Niedersachsen). Du solltest dich darüber also selbständig informieren können. (Ja, google geht auch!)

> Was ist mit x1? Brauch ich das

Keine Ahnung. Denk schon.
(Ich denke, du weißt selbst, dass die Fragenkombination wenig eindeutig ist, oder?)

> Und wie berechnet man dann eine solche Matrix

Nun, nimm einen allgemeinen Punkt

(x ∣ y)

und berechne den Bildpunkt.
Oder: Berechne die Bildpunkte einer Basis, am besten der Standardbasis.
Halt so, wie man das bei linearen Abbildungen eben immer macht.

Mfg Michael

abakus

09:03 Uhr, 16.07.2018

Hallo Schok,
vielleicht irritiert dich nur die "neue" Art der Achsenbeschriftung.
In der Schule habt ihr die Achsen mit x und y bezeichnet, diese alte Art der Bezeichnung wurde einfach durch

x_{1}

und

x_{2}

ersetzt.

"x2=-x1" ist also nach alter Schreibweise die Gerade y=-x (und da sollte ein Student wirklich nicht mehr fragen, wie die aussieht).

Schok aktiv_icon

17:25 Uhr, 16.07.2018

Okay Danke dann versuch ich das mal wenn ich wieder Probleme habe melde ich mich :-D)

zeit wann ist den

x

und

y

nicht mehr

x

und

y

:-D) oh man!!!

abakus

18:16 Uhr, 16.07.2018

Dann gewöhne dich schon mal dran, dass im x-y-z-Koordinatensystem die Achsen

x_{1}

x_{2}

x_{3}

heißen werden.
;-)

Schok aktiv_icon

21:10 Uhr, 26.07.2018

Bekomme diese Aufgabe nicht gelöst kann mir das jemand vorrechnen?

Danke

ledum aktiv_icon

21:44 Uhr, 26.07.2018

Hallo
Du vmusst schon genauer sagen, was du nicht kannst.

y = - x

bzw

x_{2} = - x_{1}

zeichnen?
den Vektor

(1,0)

darauf senkrecht projizieren ? dasselbe mit

(0,1)

also die 2 Standardbasisvektoren. Das Bild von

(1,0)

ist die erste Spalte der gesuchten Matrix, das Bild von

(0,1)

die zweite. Und mach wirklich die Zeichnung! und wenn du dann noch immer nicht damit zurecht kommst, sag genau, woran du scheiterst., und was du bis dahin gemacht hast.
Gruß ledum

michaL aktiv_icon

22:37 Uhr, 26.07.2018

Hallo,

eine Alternative ist die Wahl einer anderen Basis. Offensichtlich wäre als einer der Basisvektoren ein Richtungsvektor der relevanten Geraden geeignet. Der andere Basisvektor wäre clevererweise dann senkrecht zur Geraden zu wählen.

Was man nun benötigt, ist
1. eine Umrechnung von der Standardbasis in die neue Basis (dafür benötigt man eine Matrix),
2. die Berechnung der Projektion in der clevereren Basis (wieder einer Matrix) und
3. die Rückumrechnung von der neuen Basis in die Standarbasis (was die inverse Matrix zu 1. wäre).

Die zur Abbildung in der Standardbasis gehörenden Matrix wäre dann das Produkt der drei oben genannten Matrizen (von rechts nach links!).

Wenn du aber die Abbildungsmatrix einer so einfachen Abbildung in der Standardbasis berechnen kannst, wird dieser Weg vermutlich noch schwieriger für dich sein.

Mfg Michael

Schok aktiv_icon

20:03 Uhr, 31.07.2018

Das ganze werde ich nun bis zum Wochenende Probieren Danke euch für die nette Hilfe erst mal wieder

=)

Melde mich wieder. Mir kam leider die Tage einiges dazwischen

: (

Schok aktiv_icon

18:11 Uhr, 13.08.2018

So ich hab mir das ganze aufgezeichnet doch ich verstehe es leider immer noch nicht.

Ich benötige eine Matrix

A 2 x 2

dann muss ich

x 2 = - x 1

und was soll raus kommen?

Das ist die irgendwie gefüllte Matrix A

(\begin{matrix} - & - \\ - & - \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - x 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

Ich weis es nicht echt nicht

: (

Denke das ist totaler Quatsch was ich dahin geschrieben habe

: - (

Ich verstehe ja nicht mal wie ich

x 2 = - x 1

als Vektor schreiben kann.

LG

Roman-22

18:18 Uhr, 13.08.2018

Na, so ist das doch nicht, dass jeder Vektor auf

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

abgebildet werden soll.

Mach dir an Hand einer Zeichnung klar, dass zB

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})

auf

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

abgebildet wird.

Wie ist denn das Bild von

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}),

wie das Bild von

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

?
Mach dir klar, dass du mit der Antwort auf diese Frage bereits die beiden Spalten der gesuchten Abbildungsmatrix hast!

Schok aktiv_icon

20:58 Uhr, 20.08.2018

So möchte mich nochmal für eure Mühe bedanken.
Hab es mir erneut aufgemalt doch verstehe es immer noch nicht! Denke dabei belasse ich es nun

: (

anonymous

22:18 Uhr, 20.08.2018

Ich entstamme einem Welt_Elektronikkonzern; mein Chef Günter Kaufmann kannte den Spruch

" Kleine Sünden straft der liebe Gott sofort. "

Diese Fragew kann nur für Matematiker eine sein, die im Leben nie lernen werden, was

\to

Paulimatrizen sind . Kaufmann sprach aber auch; Hilfe zur Selbsthilfe. Keine Hilfe für Faulenzer.
Also; als Sofortmaßnahme. Die beiden Eigenzustände der Paulimatrix

S 1

laufen unter

(\pm 45

C) (

Sie stehen senkrecht aufeinander, weil

S 1

selbst redend Hermitesch ist. )
Jetzt mach dich mal schlau in dem ausgezeichneten QM Lehrbuch von Eugen Fi ck / Darmstadt, was es mit den Paulimatrizen auf sich hat
( Der Alte über den Wolken ist schon ganz schön clever. )
Ferner das Bändchen " Angular Momentum " von rose so wie der Nobelpreis verdächtige Gordon Baym . ( Von wiki war ich diesbezüglich eher enttäuscht; aber die Leute sollen ja die komischsten Geschmackata haben. )
Folgende Überlegung; eine Projektion hat immer Eigenwerte Null / Eins ( Warum? ) So bald du bissele mehr vertraut bist mit Onkel Pauli, wirst du lernen:
Jede ( reelle Hermitesche

) 2 X 2

Matrix ist darstellbar als Linearkombination ( LK ) von einheitsmatrix

1!

so wie den beiden Paulimatrizen

S 1

und

S 3

.
Der jumping Point; die Einheitsmatrix vertauscht mit allen Matrizen, demnach auch mit

S 1

. Die Eigenwerte von

S 1

sind

\pm 1

für Spin up / Down .
Was dir zu tun bleibt: Welche LK aus

1!

und

S 1

muss ich bilden, wenn ich eigenwerte 0 und 1 will?
Es wird aber nicht klappen, wenn du nicht nach einem umfassenden Verständnis trachtest.

Schok aktiv_icon

17:50 Uhr, 24.08.2018

Das Bild von

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

wird das auf

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

abgebildet?
Zumindest würde ich es so anhand der Skizze erraten.

ledum aktiv_icon

18:53 Uhr, 24.08.2018

Hallo
eigentlich sollte senkrech auf ne Gerade gehen, nicht so schwer sein_ das Bild von

(1,0)

ist

(0.5, - 0.5)

das Bild von

(0,1)

ist

(- 0.5, 0.5)

und damit sind das die Spalten der gesuchten Matrix.
vielleich schickst du demnächst deine Zeichnung, damit man weiss wo du falsch denkst.
entschuldige den Troll gilga..., er will sich nur wichtig machen, einfach ignorieren!
Gruß ledum

Schok aktiv_icon

19:36 Uhr, 24.08.2018

Vielen Lieben Dank Ledum :-)

Ich weis das es nicht so schwer sein sollte! nur wenn man es nicht wirklich erklärt bekommt und sich alles selber bei bringen muss ist es sehr mühselig und da bin ich für jede Antwort Dankbar.

Leider war in diesem Fall auch meine Zeichnung schon "Schrott"

: (\to

Falsch!

LG

ermanus aktiv_icon

20:32 Uhr, 24.08.2018

Hier vielleicht noch ein Zugang:

(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array})

ist ein Vektor der Fixgerade,

(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array})

steht auf ihm senkrecht.
Die gesuchte Matrix muss Vektoren der Fixgeraden auf sich abbilden
und dazu senkrechte auf

0

, also:

(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} a - b \\ c - d \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array})

und

(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} a + b \\ c + d \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array})

dies liefert uns das simple Gleichungssystem

a - b = 1, a + b = 0

c - d = - 1, c + d = 0

.

Gruß ermanus

anonymous

23:22 Uhr, 24.08.2018

Schk du hast völlig Recht; JEDER Vektor wird auf

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

projiziert. Und ortogonal heißt diese Projektion, weil der zur fallenden WH senkrechte Zustand

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

der Kernvektor der Projektion ist. In einem um

45

° gedrehten Koordinatensystem projizierst du auf die fallende WH .

Deshalb nochmals meine Bitte: Versuch dein Glück mit der Paulimatrix

S 1

. Es erleichtert dir die Arbeit unheimlich .

S 1

hat ja bereits die richtigen eigenVEKTOREN; nur nicht die Eigenwerte. Da musst du halt mit der Einheitsmatrix bissele nachhelfen

. .

ermanus aktiv_icon

23:33 Uhr, 24.08.2018

"JEDER Vektor wird auf (1,-1) projiziert" ...
So ein Quatsch !!!

anonymous

13:40 Uhr, 25.08.2018

Ermanus an deiner Stelle würde ich nicht so laut krähen . Kennst du die Diracsche Bracker Schreibweise ?

| v > := \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) (1)

In der Diracschreibweise sieht dann dein Projektor so aus:

P = | v > < v | (2)

In der etwas umständlicheren matematischen Schreibweise wäre das

Bild

(P) = k v (3)

Jede Projektion gehorcht er Pol<nomgleichung

P

= P,

woraus sich die halbeinfache Zerlegung in einen Bildraum zu eigenwert Eins und einen Kernraum zu Eigenwert Null ergibt - allein schon deshalb habe ich Recht .

ermanus aktiv_icon

14:13 Uhr, 25.08.2018

Jeder Vektor wird in den von

(\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array})

erzeugten Unterraum projiziert.
Es ist nicht

P (v) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}) \forall v \in V

.
Ich bemängelte die von den StudentInnen falsch zu verstehende Sprache.

anonymous

18:59 Uhr, 25.08.2018

Du machst mich direkt neugierig . Was versteht den eine Studentin falsch?

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