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Orthogonale Projektion im R4

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen, Orthogonal Projektion, Span einer Matrix

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12:15 Uhr, 02.02.2013

Hey Leute!

Sitze hier grad seit

2 h

an einer Aufgabe und bin auch relativ weit gekommen, blos beim letzten Schritt harperts ein wenig.
Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von

\vec{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \in ℝ^{4}

auf

U =

span

{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})} \subseteq ℝ^{4}

Nun haben wir das so beigebracht bekommen:

P (\vec{x}) = α (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + β (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

\to (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} α \\ β \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} α \\ β \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \end{matrix})

\to α = 1

und

β = - 0,5

Soweit bin ich gekommen.
Kann mir jemand sagen wie es nun weitergeht? Ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, wie man auf den Lösungsvektor kommen soll.

Die Lösung ist:

(\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:20 Uhr, 02.02.2013

Hallo,

ich kenne deine Rechenart nicht.
Ich kann mir aber das Kontrollergebnis durch eine alternative Rechnung herleiten.

Wenn du nur einen tipp willst, wie man das gut rechnen kann, dann orientiere dich an der senkrechten Pojektion:
http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion#Berechnung und
http//de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion#Berechnung_2

Klar, dort ist es für drei Dimensionen durchgeackert (in den folgenden Beispielen), wodurch man vorsichtig sein muss, weil etwa das Kreuzprodukt nicht zur Verfügung steht.

Aber daran kannst du dich orientieren (hab ich jedenfalls und komme auf das Kontrollergebnis).

Wenn du dann ganz fleißig bist, erarbeitest du dir, wie daraus eure Formeln abgeleitet werden.

Mfg Michael

LesSV aktiv_icon

09:52 Uhr, 03.02.2013

Kannst du mir bitte zeigen wie du das gerechnet hast?
Ich bin einer von den Leuten, die nichts mit theoretischen Formeln anfangen können, ein durchgerechnetes Beispiel würde meinem Verständnis viel besser auf die Sprünge helfen.

michaL aktiv_icon

10:59 Uhr, 03.02.2013

Hallo,

und komischerweise ist das eine aber nur Rechnen, ein Werkzeug der Mathematik.
Ich habe keine Lust, so etwas nochmal zu rechnen, im Netz gibt es jede Menge Beispiele. Die beiden Links, die ich dir angab, enthalten nach den Definitionen auch Beispiele. Schau dir die doch mal an. Wenn noch Fragen sind, antworte ich darauf gerne.

Wer nur lernt, Beispiele zu rechnen, darf sich übrigens nicht wundern, dass das gleiche Problem ("kann ich nicht") von vorne losgeht, wenn neuartige Beispiele kommen. So funktioniert Mathematik nicht.

Trotzdem viel Erfolg.

Mfg Michael

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