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Orthogonales Komplement

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Tags: orthogonal komplement, orthogonalität, Skalarprodukt, Vektorraum

CodyDerLurch aktiv_icon

23:18 Uhr, 29.01.2019

Guten Abend liebe Mathe-Helfer/innen,

Ich habe folgende Aufgabe, bin mir aber nicht sicher ob mein Ansatz so richtig ist.

Sei

V = s p a n {\underset{v_{1}}{\underset{⎵}{(\begin{array}{rcl} - 1 \\ 1 \\ 5 \end{array})}}, \underset{v_{2}}{\underset{⎵}{(\begin{array}{rcl} 3 \\ - 2 \\ 1 \end{array})}}}

, berechnen sie das Orthogonale Komplement

V^{⊥}

.

Mein Ansatz wäre, dass für ein beliebiges

v \in V^{⊥}

gelten muss

v \cdot v_{1} = v \cdot v_{2} = 0

\Rightarrow - x_{1} + x_{2} + 5 x_{3} = 0 \land 3 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = 0

, sei

x_{3} = λ \in ℝ

\Rightarrow x_{1} = x_{2} + 5_{λ}

\Rightarrow 2 x_{2} = x_{2} + 16 λ \Rightarrow x_{2} = 16 λ \Rightarrow x_{1} = 21 λ

\Rightarrow V^{⊥} = {(\begin{array}{rcl} 21 \\ 16 \\ 1 \end{array}) λ : λ \in ℝ} .

Auch die geometrische Interpretation ist mir nicht ganz klar:
Ich stelle es mir so vor, dass die Vektoren

v_{1}

und

v_{2}

eine Ebene aufspannen und

v \in V^{⊥}

sind dann alle Vektoren die senkrecht darauf stehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

ledum aktiv_icon

23:44 Uhr, 29.01.2019

Hallo
dein Vorgehen und deine Interpretation sind richtig, wie du am einfachsten beim ort. Komp. von

{(1,0,0), ((0,1,0)}

sehen kannst bzw immer wusstest.
Gruß lul

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