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Orthogonales Komplement, Orthogonale Projektion

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: kubische Funktion, orthogonal komplement, Orthogonal Projektion, Skalarprodukt

teschl aktiv_icon

18:58 Uhr, 25.09.2019

Aufgabe siehe Bild. Ich bin mir nicht einmal sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstehe...

(z . B

. zu

(a) :

warum ist das orthogonale Komplement zu

P 3

nun

P 2

? Heißt das ich soll ein maximal quadratisches Polynom berechnen, welches zu den maximal kubischen Polynomen orthogonal ist?)
Ich weiß, dass das Skalarprodukt gleich 0 sein muss, damit die Orthogonalität erfüllt ist. Wie kann ich das hier jetzt einsetzen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

michaL aktiv_icon

19:15 Uhr, 25.09.2019

Hallo,

> warum ist das orthogonale Komplement zu P3 nun P2?

Üblicherweise versteht man unter einem Polynom den Term einer Polynomfunktion, gerne von der Variable

X

abhängig.
Demnach würde gelten:

P_{3} (ℝ) = {a X^{3} + b X^{2} + c X + d ∣ a, b, c, d \in ℝ}

.

Mit der üblichen Addition von Polynomen und der Multiplikation als Skalarmultiplikation ist

P_{3} (ℝ)

ein Vektorraum.
Einer seiner Untervektorräume ist verständlicherweise

P_{2} (ℝ) = a X^{2} + b X + c ∣ a, b, c \in ℝ}

.

Nun sollst du das orthogonale Komplement des Untervektorraums

P_{2} (ℝ)

P_{3} (ℝ)

finden.

Wie man das macht, ist sicher in der Übung vorgeführt worden. (Wenn ich ein bisschen suche, könnte ich a) auch in meinen Mitschriften wohl noch finden. Sie ist Standard.)
Gemäß Vorlesung ist

P_{2} (ℝ)^{⊥}

wieder ein Untervektorraum von

P_{3} (ℝ) P_{2} (ℝ)

.
Gemäß Dimensionsatz muss er eindimensional sein.
Zum Ziel führt also, ein Polynom

a X^{3} + b X^{2} + c X + d

anzunehmen, dass gemäß angegebenem Skalarprodukt senkrecht ist allen Elementen von

P_{2} (ℝ)

, also zu allen

p X^{2} + q X + r

.

Machen wir erst einmal a) und wenden uns b) dann später zu.

Mfg Michael

teschl aktiv_icon

19:43 Uhr, 25.09.2019

D . h

. ich sage

p (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

und

q (x) = p x^{2} + q x + r

und berechne dann das Skalarprodukt

< p, q >

mit der angegebenen Formel und setze das gleich 0?

michaL aktiv_icon

19:50 Uhr, 25.09.2019

Hallo,

korrekt.

Mfg Michael

teschl aktiv_icon

20:06 Uhr, 25.09.2019

Okay also ich habe berechnet, dass

< p, q > = 2 (p (a + c) + q (b + d) + r (a + c))

.
Ist es jetzt ausreichend als orthogonales Komplement die Menge anzugeben für die dies gleich 0 ist?

michaL aktiv_icon

22:24 Uhr, 25.09.2019

Hallo,

bitte achte darauf,

p

und

q

nicht doppelt zu verwenden.

Die Sache geht insgesamt etwas einfacher, wobei ich bemerken muss, dass ich ein anderes Ergebnis bekomme.

Berechne jeweils

〈 a X^{3} + b X^{2} + c X + d; x^{k} 〉

für

k = 0, 1, 2

und setze dies jeweils gleich Null.
Dadurch erhältst du drei Bedingungen der Art

3 d + b = 0

5 c + 3 a = 0

5 d + 3 b = 0

Wähle nun eine der Variablen (ungleich Null!) und berechne daraus die anderen.
Damit bekommst du den Erzeuger für das orthogonale Komplement.

Mfg Michael

teschl aktiv_icon

22:54 Uhr, 25.09.2019

Erstmal danke für deine Hilfe.
Ich verstehe leider nicht ganz, wie es zu dieser Berechnung kommt, aber ich werde wohl noch mal drüber schlafen :-D)
Leider war das eben keine Übungsaufgabe, wir hatten in den Übungen nie ein orthogonales Komplement berechnet und diese Aufgabe hier war dann in der Klausur.

michaL aktiv_icon

12:17 Uhr, 26.09.2019

Hallo,

ok, eine(!) Basis de

P_{2} (ℝ)

wäre ja nun gerade

{1, X, X^{2}}

.

Soll ein

k \in P_{3} (ℝ)

auf ganz

P_{2} (ℝ)

, so muss er insbesondere senkrecht zu den Basisvektoren sein.
Es muss also

〈 k; 1 〉 = 〈 k; x 〉 = 〈 k; x^{2} 〉 = 0

gelten.

Wenn ein

k

die erfüllt, so ist

〈 k; m 〉 = 0

sogar für alle

m \in P_{2} (ℝ)

, da

〈; 〉

bilinear ist.

Insofern habe ich mir von einem CAS

〈 k; 1 〉 = 0

〈 k; x 〉 = 0

und

〈 k; x^{2} 〉 = 0

aufstellen und vereinfachen lassen.
Die Ergebnisse habe ich (hoffentlich) fehlerfrei kopiert.

Noch weitere Fragen?

Mfg Michael

teschl aktiv_icon

17:37 Uhr, 26.09.2019

Wie wären dann die 4 Variablen

a, b, c, d

zu interpretieren, wenn man in einem quadratischen Polynom nur 3 variablen (bis auf

x)

hat? Oder soll das Ergebnis kein quadratisches Polynom sein?

ermanus aktiv_icon

19:13 Uhr, 26.09.2019

Hallo,
deine Polynome haben die Gestalt

a X^{3} + b X^{2} + c X + d

und du weißt aus deinem
Gleichungssystem, dass

b = d = 0

ist und

5 c + 3 a = 0

ist.
Damit müsstest du die Polynome doch alle angeben können.
Da du die Polynome suchst, die auf allen Polynomen max. 2-ten Grades
senkrecht stehen, so ist es doch ganz unwahrscheinlich, dass diese
ebenfalls vom Grade 2 sind ...
Gruß ermanus

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