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Orthogonales Komplement Spann Beweis

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

EviOriginal aktiv_icon

23:15 Uhr, 24.04.2020

Sei (V,\<,\>) ein endlichdimensionaler Euklidischer Vektorraum und

A \subset V

eine beliebige Teilmenge.

Zeigen Sie:

A^{{(⊥)}^{⊥}} =

spanA

Meine Vorüberlegung:
Es gilt:

V = A^{⊥} + A

wenn A nichtleer folgt, dass der spanA

= {t_{1} a_{1}, ..., t_{n} a_{n} | t_{i}

aus

I R, a

aus

A}

Sei nun

v

aus

A^{⊥},

dann ist

< t, t_{1} a_{1}, ..., t_{n} a_{n} > = t_{1} < v, a_{1} > + . .

. wobei das Skalarprodukt nach Definition der Orthogonalität gleich Null ist, also spanA^

⊥

Kann ich nun noch ein

w

aus

A^{{(⊥)}^{⊥}}

nehmen und das gleiche behaupten, allerdings dass nun das Skalarprodukt

\neq 0

sein muss und somit ganz spanA?

Kann mir bitte jemand bei dem Beweis helfen?

ermanus aktiv_icon

10:04 Uhr, 25.04.2020

Hallo,

leider ist deine Vorüberlegung falsch, wie du an dem Beispiel

V = ℝ^{2}

und

A = {(1, 0)}

sehen kannst:
es ist

A^{⊥} = {(0, x) ∣ x \in ℝ}

und daher

A^{⊥} + A = {(1, x) ∣ x \in ℝ} \neq V

.

Die Gleichung gilt aber, wenn

A

ein Unterraum von

V

ist.

1. Bekannt dürfte sein, dass für einen Unterraum

U \subseteq V

gilt:

(U^{⊥})^{⊥} = U

.

2. Klar sollte sein, dass für Teilmengen

A, B \subseteq V

gilt:

A \subseteq B \Rightarrow B^{⊥} \subseteq A^{⊥}

.

Schreib mir bitte, ob das als bekannt vorausgesetzt werden darf.
Da du ja bereits

A^{⊥} \subseteq (s p a n A)^{⊥}

gezeigt hast,
wärst du dann mit Hilfe von 1. und 2. rasch am Ziel.

Gruß ermanus

EviOriginal aktiv_icon

10:38 Uhr, 25.04.2020

Hallo, danke für deine Anwort!

2)

haben wir in der VL gezeigt,

1)

konnte ich beweisen

Wir haben in der VL zudem gezeigt, dass

A^{⊥} =

span

A^{⊥}

Nun weiß ich allerdings nicht, wie ich das alles anwenden kann.

Der Prof hat als Tipp in der VL gemeint, dass man dafür einfach

V = U + U^{⊥}

braucht und auf die Lösung kommt. Ich weiß allerdings nicht wie.

Wenn

A^{⊥} =

span

A^{⊥},

folgt ja auch, dass

A^{⊥} \subset

span

A^{⊥} \Rightarrow

spanA

\subset A

aber eigentlich gilt doch

A \subset

spanA oder nicht?

Hilfeeeee

ermanus aktiv_icon

10:49 Uhr, 25.04.2020

OK.
Dann ist es doch ganz einfach:

A^{⊥} = (s p a n A)^{⊥} \Rightarrow

s p a n A = ((s p a n A)^{⊥})^{⊥} = (A^{⊥})^{⊥}

.

Gruß ermanus

P.S.: deine Schreibweise ist nicht eindeutig:
bedeutet

s p a n A^{⊥}

die Menge

(s p a n A)^{⊥}

oder

s p a n (A^{⊥})

EviOriginal aktiv_icon

11:24 Uhr, 25.04.2020

Danke!

Ich meine (span

A)^{⊥}

Aber wie kommst du auf span

A =

((span

A)^{⊥})^{⊥}

? Das klingt logisch, aber wie ich der genaue Beweis? Ich habe das ja nur für Unterräume und nicht Teilmengen A bewiesen

ermanus aktiv_icon

11:28 Uhr, 25.04.2020

Setze in

(U^{⊥})^{⊥} = U

einfach

U = s p a n A

ein.

s p a n A

ist doch definitionsgemäß ein Unterraum !!

EviOriginal aktiv_icon

11:34 Uhr, 25.04.2020

Ahhh stimmt okay vielen Dank!!!!

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