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Orthogonales Komplement im L2 bestimmen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Vektorräume

Tags: Funktionalanalysis, Vektorraum

OGLogg aktiv_icon

14:40 Uhr, 18.10.2019

Hallo zusammen,

Es geht um folgende Aufgabe:

Ein Untervektorraum von

L_{2} (ℝ)

ist

U = {f \in L_{2} (ℝ) ∣ f (- x) = f (x), x \in ℝ}

(für fast alle

x \in ℝ

). Bestimmen Sie

U^{⊥}

Mir fehlt allerdings der Ansatz:

Im

L_{2}

gilt:

∣ ∣ f ∣ ∣_{2} = (\int_{ℝ} ∣ f ∣^{2} d x)^{\frac{1}{2}}

und

∣ ∣ f * g ∣ ∣ \leq \frac{1}{2} [∣ ∣ f ∣ ∣ + ∣ ∣ g ∣ ∣]

Vielleicht mit

g \in U^{⊥}

, wobei

U^{⊥}

alle ungeraden Funktionen beinhaltet, so dass gilt:

g (- x) = - g (x)

?

Würde mich sehr über eure Hilfe freuen! Danke schon mal

LG OG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

18:01 Uhr, 18.10.2019

Hallo,

zeige zunächst, dass das Skalarprodukt aus einer geraden

(f)

und einer ungeraden

(g)

Funktion gleich 0 ist, indem Du das Integral über

f \cdot g

aufteilst auf

(- \infty,0)

und

(0, \infty)

.

Damit gehören alle ungeraden Funktionen zu

U^{⊥}

. Für die Umkehrung benutze die Zerlegung

h (x) = \frac{1}{2} \cdot [h (x) + h (- x)] + \frac{1}{2} \cdot [h (x) - h (- x)]

in eine gerade und in eine ungerade Funktion.

Gruß pwm

OGLogg aktiv_icon

09:41 Uhr, 20.10.2019

Hi pwmeyer,

vielen Dank für deine Antwort! Also ich habe jetzt:

< f, g > = \int_{ℝ} f (x) g (x) d x = \int_{- \infty}^{0} f (x) g (x) d x + \int_{0}^{\infty} f (x) g (x) d x = - \int_{- \infty}^{0} f (x) g (x) d x + \int_{0}^{\infty} f (x) g (x) d x = 0

Also da ja alle x im ersten Integral negativ sind kann man per Definition der ungeraden Funktionen das Minuszeichen "herausziehen". Stimmt das so?

Aber das mit der Umkehrung habe ich nicht ganz verstanden... Habe ich damit nicht schon gezeigt, dass