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Orthogonalprojektion im R2

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Tags: Orthogonal Projektion, Skalarprodukt, Vektorraum

linchen29 aktiv_icon

18:44 Uhr, 04.12.2021

Sei

V = ℝ^{2}

und

U =

⟨

e_{2}

⟩ mit

e_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

.

1. Sei

v = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \end{matrix})

. Geben Sie einen Vektor

u \in U

an, sodass

v - u

senkrecht auf

U

steht.

2. Zeigen Sie, dass es zu jedem

v \in V

einen Vektor

u \in U

gibt, sodass

v - u

senkrecht auf

U

steht.

3.Weisen Sie nach, dass die Wahl des Vektors

u

in Teilaufgabe

(b)

eindeutig ist.

Bemerkung: Den eindeutig bestimmten Vektor

u

aus dieser Aufgabe nennt man Orthogonalprojektion von

v

auf U.

Kann mir jemand bei diesen Aufgaben helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

18:52 Uhr, 04.12.2021

"2. Zeigen Sie, dass es zu jedem v∈V einen Vektor u∈U gibt, sodass v−u senkrecht auf U steht."

v - u

senkrecht zu

U

bedeutet

〈 v - u, e_{2} 〉 = 0

, also

〈 v, e_{2} 〉 = 〈 u, e_{2} 〉

.
Ein Vektor aus

U

hat die Form

(0, x)

. Wenn

v = (v_{1}, v_{2})

, dann haben also

v_{2} = 〈 v, e_{2} 〉 = 〈 u, e_{2} 〉 = x

. Damit muss man als

u

den Vektor

(0, v_{2})

nehmen und es wird die Bedingung erfüllen.

1. ist dann trivial zu lösen, wenn man schon 2. hat.

"3.Weisen Sie nach, dass die Wahl des Vektors u in Teilaufgabe (b) eindeutig ist."

Wenn

u_{1}, u_{2}

so, dass

〈 v - u_{1}, e_{2} 〉 = 〈 v - u_{2}, e_{2} 〉 = 0

, dann haben

〈 u_{1}, e_{2} 〉 = 〈 u_{2}, e_{2} 〉 = 〈 v, e_{2} 〉

.
Da

u_{1}, u_{2}

die Forme

(0, x)

haben, können mit

u_{1} = (0, x_{1})

u_{2} = (0, x_{2})

fortsetzen, was zu

x_{1} = 〈 u_{1}, e_{2} 〉 = 〈 u_{2}, e_{2} 〉 = x_{2}

führt. Das bedeutet, dass

u_{1} = u_{2}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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