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Orthogonalraum, Orthogonale Vektoren

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: orthogonale Vektoren, orthogonalraum, Untervektorraum, Vektorraum

Manuel91 aktiv_icon

22:15 Uhr, 03.10.2017

Hey Leute, ich habe folgende Problemstellung:

(a)

Berechnen Sie alle Vektoren der Länge

1,

die auf beide Vektoren

\vec{a} = {(1, 0, 1)}^{T}

und

\vec{b} = {(1, 1, 2)}^{T}

orthogonal stehen!
Machen Sie anschließend eine Probe, indem Sie den Winkel zwischen Ihrer Lösung und a bzw.

b

berechnen.
Geben Sie außerdem den Orthogonalraum zu

{a, b},

das ist der Unterraum aller Vektoren, die auf a und

b

orthogonal stehen, in Parameterdarstellung an!

(b)

Geben Sie die Menge aller Vektoren, die auf

\vec{c} = {(1,1,1)}^{T}

orthogonal stehen,

i

. als Gleichung in den Koordinaten,
ii. in einer geeigneten Parameterdarstellung an!
Ist diese Menge ein Unterraum des

R 3

? Wenn ja, bestimmen Sie dessen Dimension!

zu

(a) :

Ich habe erst einmal das Kreuzprodukt aus a und

b

gebildet und dadurch den orthogonalen Vektor, ich nenne in

\vec{d} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

erhalten. Nach dem Normieren sieht dieser folgendermaßen aus:

(\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix})

.
Habe die Probe mit den Vektoren a und

b

gemacht - das Skalarprodukt ergibt jeweils

0,

also steht er auch tatsächlich orthogonal auf diese.
Die Probe mit dem Winkel ergibt auch jeweils 90°, also dürfte das soweit stimmen. Habe dabei folgende Formel verwendet:

cos λ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{d} |}

.

Meine erste Frage: ich soll doch alle Vektoren mit Länge 1 finden die auf a und

b

orthogonal stehen, ich habe allerdings nur einen.. wie finde ich den Rest?
Das führt mich zur nächsten Frage: wie finde ich dann weiters den Orthogonalraum?

zu

(b) :

Ich kann mir eigentlich unendlich viele Vekotren denken, die auf den Vektor

\vec{c} = {(1,1,1)}^{T}

orthogonal stehen, allerdings weiß ich nicht, wie ich diese (alle) als Gleichung oder in Parameterdarstellung angeben soll..

Ich bitte um Hilfe! Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

22:18 Uhr, 03.10.2017

a)

\vec{a} x \vec{b}

UND

\vec{b} x \vec{a}

Manuel91 aktiv_icon

22:22 Uhr, 03.10.2017

Achso! Indem ich in "beide Richtungen" das Kreuzprodukt bilde, erhalte ich beide (alle) orthogonalen Vektoren?
Und wenn ich diese beiden in Parameterdarstellung angebe, habe ich auch schon meinen gesuchten Orthogonalraum oder?
Danke vielmals!

Jetzt brauche ich nur mehr Hilfe bei

(b)

:-P)

abakus

22:44 Uhr, 03.10.2017

Nenne die erste Koordinate s und die zweite Koordinate t. Berechne daraus die dritte Koordinate so, dass das Skalarprodukt 0 wird.

Manuel91 aktiv_icon

19:48 Uhr, 04.10.2017

@Gast62

Beziehst du das auf Punkt

(a)

oder Punkt

(b)

? Ich kann dir da leider nicht ganz folgen, sorry

Ich habe auf jeden Fall meine zwei Orthogonalvektoren, die da lauten:

\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

und

\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

ledum aktiv_icon

21:37 Uhr, 04.10.2017

alle Vektoren, die auf deinem gegebenen Vektor senkrecht stehen liegen in einer Ebene durch

0,

die du in parameterform oder als Gleichung angeben kannst.
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

23:36 Uhr, 04.10.2017

Du meinst jetzt bezüglich b?

Ich kann mir leider nicht genau vorstellen wie das dann aussehen soll, ich steh etwas auf dem Schlauch...

Und bzgl

a,

wie sieht mein Untervektorraum aus, jetzt wo ich alle nötigen Vektoren habe? Tu mir leider beim Thema Vektorräume ziemlich schwer...

LG

ermanus aktiv_icon

00:03 Uhr, 05.10.2017

Hallo,

zu (b):
wenn der Vektor

(x, y, z)

orthogonal zu

(1, 1, 1)

sein soll, muss das Skalarprodukt
dieser Vektoren

0

sein:

1 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot z = 0

, also ist die Koordinatendarstellung

{(x, y, z) ∣ x + y + z = 0}

.
Ich habe die Vektoren als Zeilenvektoren geschrieben, weil mir das
Spaltengedöhns hier zu mühselig ist.

Für die Parameterdarstellung brauchst du 2 linear unabhängige Vektoren, die orthogonal
zu

(1, 1, 1)

sind. Solche zu finden dürfte nicht schwierig sein ...

Manuel91 aktiv_icon

10:20 Uhr, 05.10.2017

Danke ermanus! Habe einfach die Vektoren

{(0,1, - 1)}^{T}

und

{(1,0, - 1)}^{T}

gewählt und dann mittels diesen zweien und meinem Ausgangsvektor die Parameterform aufgestellt. Sieht jetzt alles so einfach aus im Nachhinein - danke für eure Antworten!

LG

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