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Orthonormalbasis-Aufgabe

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Lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Orthonormalbasis, Skalarprodukt, Vektorraum

Mr-Maths aktiv_icon

19:49 Uhr, 30.06.2016

Hallo,

im Anhang befindet sich eine Aufgabe zur Orthonormalbasis(ONB). a) ist einfach. Die ONB-Vektoren sind:

v_{1} = (\begin{array}{rcl} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{array})

v_{2} = (\begin{array}{rcl} \frac{\sqrt{6}}{2} \\ \frac{\sqrt{6}}{2} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} \\ 0 \end{array})

und

v_{1} = (\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ 1 \end{array})

.

Diese Vektoren stehen ja nun alle senkrecht zueinander, da es ja eine ONB ist(stehen "normal" zueinander). Richtig?

zu b):
Also jetzt muss ich einen Vektor aus U finden, der am nächsten bei (0,1,0,0) liegt.
Aber wie soll ich das bestimmen?

Die Vektoren in Spalten setzten und A*x=(0,1,0,0) ausrechnen, hab ich mir gedacht, jedoch bekomme ich ja dann genau den Vektor x für den A*x=(0,1,0,0) ergibt, also bringt auch nichts. Was könnte ich hier machen? Hat einer nen Tipp bitte?

zu c): Was soll das heißen, wie weit ist der Vektor von U entfernt?
Ich kann mir darunter gar nichts vorstellen, da es im 4-Dimensionalen ist. Ev. die Differenz des Vektors der am nähsten von (0,1,0,0) ist und (0,1,0,0) selbst?
Ja so könnte es definitiv gehen.

Gruß
Mr-Maths

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

michaL aktiv_icon

23:05 Uhr, 30.06.2016

Hallo,

bestimme für b) einen Vektor

\vec{v}

mit

\vec{v} ⊥ \vec{u} \forall \vec{u} \in U

.
Dann bilden die drei

U

aufspannenden Vektoren und

\vec{v}

eine Basis von

ℝ^{4}

. Stelle den in Rede stehenden Vektor bzgl. dieser Basis dar.
Ziehe denjenigen Anteil ab, der nicht in

U

ist und damit ist die Aufgabe gelöst.

Für c) musst du die Länge der beiden Vektoren berechnen (also den Anteil, der nicht in

U

liegt). Das ist die Entfernung von

U

.

Mfg Michael

Mr-Maths aktiv_icon

10:08 Uhr, 01.07.2016

Danke. (Nehmen wir den Vektor x statt v, der senkrecht auf U stehen soll.)

zu b):

< (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) ∣ x > = < (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) ∣ x > = < (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) ∣ x > = 0

Das muss gelten, dass x senkrecht auf U steht. Die Vektoren, die U aufspannen als Zeilenvektoren schreiben und einfach das Gleichungssystem Ax=0 lösen:

x \in < (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) >

Fragen:
1. Spannt ein senkrecht auf einem Unterraum U stehender Vektor x immer mit den U-aufspannenden Vektoren

u_{i}

den nächst größeren Raum auf? Also nächst höhere Division?

2. Jetzt soll ich also x mit meiner neuen Basis von \mathbb R^4 darstellen?

michaL aktiv_icon

11:04 Uhr, 01.07.2016

Hallo,

den Vektor habe ich auch.

> 1. Spannt ein senkrecht auf einem Unterraum U stehender Vektor x immer mit den U-aufspannenden Vektoren
>

u_{i}

den nächst größeren Raum auf? Also nächst höhere Division?

Hm, ich weiß nicht, ob ich die Frage korrekt verstehe.
Zumindest ist der Vektor

\vec{x}

linear unabhängig von

U

in dem Sinne, dass du ihn zu einer linear unabhängigen Menge (etwa die drei Ausgangsvektoren) hinzu nehmen kannst und die dann entstehende Menge von Vektoren wieder linear unabhängig ist.
Nimmst du ihn zu deiner ONB von

U

hinzu, hast du zumindest eine orhtoGONale Basis des

ℝ^{4}

. (OrthoNORMal ist auch nicht unbedingt nötig, aber ja leicht zu erreichen, indem du

\vec{x}

normierst.)

Es ist natürlich nicht mehr vorstellbar (vierdimensional), aber das Analogon einer Dimension weniger kann als Anhaltspunkt dienen. Da kann man sich

U

als Ursprungsebene vorstellen, von der

\vec{x}

senkrecht wegführt. Normalenvektor eben.
Trifft das die Frage?

> 2. Jetzt soll ich also x mit meiner neuen Basis von

ℝ^{4}

darstellen?

Nein, nicht

\vec{x}

(ich hatte darunter den Vektor

(1, - 1, 1, - 1)^{T}

verstanden), sondern den in Frage stehenden Ortsvektor

(0, 1, 0, 0)^{T}

.
Interessant sind halt die beiden Anteile, der Anteil in

U

und der senkrecht zu

U

.

Vielleicht noch als Erläuterung: Kürzeste Abstände haben wegen des Pythagoras eben immer mit rechten Winkeln zu tun.

Mfg Michael

Mr-Maths aktiv_icon

13:00 Uhr, 01.07.2016

Danke.

Also ich kann ja meine neue Basis in Zeilenvektoren geben und mir dann Ax=(0,1,0,0) ausrechnen.

Und stehen in x genau die Koeffizienten der jeweiligen Basisvektoren richtig?

Mr-Maths aktiv_icon

16:09 Uhr, 01.07.2016

Nochmal:

Meine neue Basis sieht so aus:

B = v_{1}, v_{2}, v_{3}, x

- Wobei v1-v3 die orthogonal Vektoren von U sind.
Und ja es macht Sinn, wenn man einen Vektor x der senkrecht auf U steht, dass die ONB von B inkls dieses Vektors dann eine OB von R^4 ist.

Stimmt so oder?

Der Vektor (0,1,0,0) ist ja offentsichtlich nicht in U, jedoch definitiv in R^4.

(\begin{array}{rcl} - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{1}{3} & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{6}}{2} & - \frac{1}{3} & - 1 \\ 1 & \frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{1}{3} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

y1, y2 und y3 sind dann also die Koeffizienten für v1, v2 und v3. Und y4 ist der Koeffizient für x.

Somit habe ich dann den Anteil von U(v1,v2,v3) und den Anteil von x. Jedoch welcher Anteil ist dann näher drann? Das verstehe ich noch nicht.

michaL aktiv_icon

18:00 Uhr, 01.07.2016

Hallo,

> y1, y2 und y3 sind dann also die Koeffizienten für v1, v2 und v3. Und y4 ist der Koeffizient für x.
Korrekt.

> Somit habe ich dann den Anteil von U(v1,v2,v3) und den Anteil von x. Jedoch welcher Anteil ist dann näher
> drann? Das verstehe ich noch nicht.

Nun, es geht um den Anteil von

(0, 1, 0, 0)^{T}

U

. Der Anteil längs

x

ist NICHT in

U

.
Nimm also

y_{1} v_{1} + y_{2} v_{2} + y_{3} v_{3} \in U

, das ist der nächste in

U

gelegene Punkt bzw. (genauer) dessen Ortsvektor. Und der Abstand zu

(0, 1, 0, 0)^{T}

ist dann natürlich der Betrag des Differenzvektors, der sich formelmäßig zu

∣ y_{4} ∣ \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣

ergibt.

Mfg Michael

devnull aktiv_icon

21:22 Uhr, 01.07.2016

Hallo Mr. Maths.
Da dein Problem - der Sprung von

R^{3}

auf

R^{n}

macht Schwierigkeiten - häufig bei Studenten auftritt, man das allgemeine Prinzip der Projektion und Orthogonalzerlegung bzgl eines Unterraumes verstanden haben muss und die speziellen Formeln aus dem

R^{3}

nicht immer direkt nutzen kann, habe ich dazu schon vor längerer Zeit eine kurze Anleitung verfasst. Die Bilder und Veranschaulichungen sind dieselben wie im

R^{3}

auch wenn man die Prinzipien der Projektion bzgl ON Basis in vielen anderen Kontexten nutzt - theoret. Physik , bei Fourierreihen, etc.

Die Projektion eines gegebenen Vektors , bei dir z.B. (0,1,0,0) auf den Unterraum U ist gerade der Vektor, den du in b) "am nächsten in U zu dem gegebenen (0,1,0,0) liegend " bezeichnest.

Du findest ein Beispiel ähnlich zu deinem gerechnet so:
http//tstaib.de/Mathe/Main.htm
Gehe auf Ing-Math
Gehe auf "Lineare Algebra"
Gehe auf "Vektorräume" in der Spaltennavigation links
Gehe in der internen Seitennavigation (oben auf der Seite "Vektorräume")
auf "Projektion Vektor auf einen Unterraum"

Darin wird kurz erklärt wie man die Projektion eines Vektors auf einen Unterraum rechnet und das Punkt-Abstands-Problen löst, welches Gleichungssystem man aufstellen muss für die Projektion und welches einfache man im orthogonalen Fall bekommt

in Beispiel 5a ist dann dein Problem für einen Unterraum

U \subset R^{4}

mit 2 orthogonalen Basisvektoren gerechnet . Oben drüber sind die allgemeinen Formeln. Daran siehst du , dass du nur 2 Skalarprodukte für deinen 3. Basisvektor zusätzlich rechnen musst (genau genommen nur eines da ON System) um die Darstellungskoordinaten der Projekton zu ermitteln.

Es wird dir vermutlich helfen, wenn du auch die Themen drüber teilweise liest, zum Beipsiel die Zerlegung eines Vektors in Parallel- und Orthogonalkomponente bzgl eines anderen Vektors.
(braucht man oft in der Physik und ist die Vorstufe deines Problems. )

Du darfst mir hier auch gerne ein Feedback schreiben, was du verstanden hast. Die Seiten sind nicht primär zum Erstlernen sondern zum Nachlesen geschrieben, wenn man den Stoff einmal verstanden hatte, also eher knapp.
Es kann sein, dass der Seitenaufbau etwas dauert - die TeX-Formatierung wird von einem externen Server geladen.

Viel Erfolg.

Mr-Maths aktiv_icon

17:17 Uhr, 02.07.2016

Hey, danke für die Hilfe.

b.) und c.) habe ich verstanden. a.) aber nur wie man das ausrechnet.

Also bei einer Orthogonalbasis stehen die Basisvektoren senkrecht aufeinander oder? D.h. ihr Skalarprodukt ist Null.

Und bei einer Orthonormalbasis stehen die Basisvektoren senkrecht aufeinander und haben die Länge 1, da es im Prinzip Einheitsvektoren sind.

Ist das so richtig?

Nun zu deiner Seite: Dazu habe ich erstmal ein Bild hochgeladen. Das Gram-Schmidt Verfahren ist mir bekannt.

Folgendes ist mir jedoch nicht klar:
Wir haben einen Unteraum mit den Basisvektoren

b_{i}

gegeben. In dem Fall ist es halt eine Ebene, um sich das genau vorstellen zu können. Nun wollen wir ein Orthogonalsystem bilden(oder halt die Basis, weil ja die Basisvektoren gegeben sind).

Wie man sieht ist

v_{n}

jener Vektor für die ONB. Aber der steht ja jetzt normal auf diesen Unterraum U.

Aber was ist nochmal das Prinzip davon? Das der ONB-Vektor einfach senkrecht auf den Basisvektor von U steht? Und das gilt für alle Basisvektoren von U?

devnull aktiv_icon

20:11 Uhr, 02.07.2016

Orthogonal ist dasselbe wie "senkrecht". Orthonormal (ON) wenn noch zusätzlich auf Länge 1 normiert.

Das Gram-Schmidt Verfahren magst du ja kennen, aber wie es arbeitet hast du nicht geometrisch verstanden, denke ich nach deinen Fragen. Algorithmisch eventuell schon.

Du solltest vielleicht doch noch meinem Tipp folgen und zuerst den einfachsten Fall
"Projektion eines Vektors auf einen anderen /Orthogonalzerlegung" durchlesen. (n=2)

Bild tstaib.de/Mathe/MathIng/BildLin/Zerlegung.jpg

DAs ist nämlich der einfachste Fall deines Problems

Du hast einen Vektor u, der spannt einen eindimensionalen Unterraum U_1 von irgeneinem Vektorraum V auf (U Unterraum von V = R^2, R^3 oder R^1000, ganz egal)
U_1 = span(u) (Menge aller Linearkombinationen - hier eine Gerade )

Jetzt gebe ich dir einen Vektor v dazu,
Wie du am Bild siehst, sind die beiden zwar linear unabhängig , aber nicht orthogonal.
u und v sind also nichtorthogonale Basis eines zweidim. Raumes
U_2 = span(u,v)

Du möchtest für diesen (!) zweidim. Raum U_2 nun eine orthogonale Basis basteln.
Dazu nimmst du u wie es ist und zerlegst v wie auf dem Bild gezeigt (und auf meiner Seite) vorgerechnet in zwei Vektoren,
einen parallel zu u (

v_{∣ ∣}

(die Projektion)
und einen senkrecht zu u :

v_{⊥} = v - v_{∣ ∣}

v_{⊥}

und u spannen nun denselben Raum U_2 auf wie v und u ,
U_2 = span( u,

v_{⊥}

)
und die neuen Basisvektoren sind jetzt orthogonal zueinander.

Das genau macht auch das Gram Schmidt verfahren in der Variante "ohne Normierung" in jedem Schritt. Es subtrahiert die Parallelanteile zu den anderen Vektoren damit der Orthogonalanteil übrigbleibt.
Das schrieb auch auch micha in einem Post oben so ähnlich.

Damit du eine ON Basis bekommst , musst du deine Basis noch auf Länge 1 normieren.

Das macht das Gram -Schmidt Verfahren in der Variante "mit Normierung" (siehe Wikipidia)

Das Gram Schmidt Verfahren führt diese Prozedur nacheinander (rekursiv) mit n Baisivektoren durch.
Für die Handrechnung empfiehlt es sich , zuerst unnormiert zu rechnen (vermeidet Brüche) und erst nachher auf Länge 1 zu stauchen.

In deiner Aufgabe in Post 1
hattest du einen dreidim. Unterraum U_3 = span(v_1,v_2,v_3)
des R^4, der bereits aus 3 ON
Vektoren besteht - eventuell vorher aus einer nicht ortho-Basis durch Gram-Schmidt bererchnet.
Dieser 3-Dim Unterraum U_3 soll nun durch einen darauf senkrecht stehenden Vektor
zu einer Basis des R^4 ergänzt werden.

Du startest dazu mit irgendeinem von U_3 linear unabhäng. Vektor - in deinem Bild b_n, oben in deiner Aufgabe war das (0,1,0,0),
berechnest dann dessen Projektion

\overline{b}

auf U_3 und subtrahierst diese von b_n. Das Ergebnis ist ein Vektor der auf U_3 (und damit allen Basisvektoren von U_3 ) senkrecht steht
, den noch normieren, dann hast du deinen 4. Basisvektor

v_{4}

deiner ON-Basis von R^4.

Das entspricht einem (dem 4. ) Schritt im Gram Schmidt Verfahren.
Die Gleichungen für die Koordinaten der Projektion siehe meine Seite.

(Die ersten Schritte des GS müsstest du nur rechnen , wenn deine Vektoren v;1, v_2, v_3 als Basis von U_3 nicht ON wären. )

Da Orthogonale Vektoren auch immer (automatisch) linear unabhängig sind (Satz, siehe meine Seite) hast du nun eine ON Basis des R^4 .

Mr-Maths aktiv_icon

21:16 Uhr, 02.07.2016

Danke, es ist besser geworden.

Ich möchte es kurz zusammenfassen/widerholen:
D.h. ich habe eine Ebene U_2=span(b_1,b_2) gegeben. Und diese Basisvektoren sind nicht orthogonal, angenommen. Wenn ich jedoch jetzt eine Orthogonalbasis berechen will, die genau dieselbe Ebene U_2 aufspannt, dann nehme ich einen Vektor her, z.b. b_1.

Und sage z.B. u_1=b_1 (da dann die u-Vektoren meine OB werden) mit irgendeinen Vektor muss man ja anfangen. Genau das macht ja das Gram-Schmidt verfahren auch als ersten Schritt.

Als zweiten Schritt wird dann die Projektion des nächsten Vektors b_2 berechnet, also die parallel zu b_1 liegt und danach halt genau die Senkrecht auf dieser Projektion steht, also der kürzeste Weg von der Projektion zu b_2. Und genau diesen kürzesten Weg nennen wir u_2.

D.h. meine OB lautet: U_2=span(u_1, u_2)

Also für mich ist es so wie ich es erklärt habe irgendwie logischer. Aber das ding ist, dass ich das Gefühl habe, dass man immer einen Raum/Linie gegeben hat mit Dimension n und dann diese erweitert mit n+1(also man holt einen Vektor hinzu).

Also wie du in deinem letzten Beitrag erwähnt hast: Es ist eine Linie gegeben(dimension 1) und es kommt dann plötzlich ein Vektor dazu (Dimension 2). Für mich ist es aber logischer wie ich es hier erklärt habe, aber stimmt das so?

Oder man hat eine Ebene gegeben(Dimension 2) und man holt dann wieder einen Vektor hinzu(Dimension 3). Kann man ned gleich sagen, ich habe 3 Vektoren gegeben die einen 3D-Raum aufspannen und diese Basisvektoren sind nicht orthogonal(stehen nicht senkrecht aufeinander) zueinander und jetzt will man einfach eine Orthogonalbasis daraus machen? Das ist für mich viel logischer, aber vielleicht habe ich einen Denkfehler.

Vielleicht eine kleine Frage zwischendurch bevors weitergeht bitte: Warum spannen beide Basen eigentlich genau denselben Raum(U_2) auf?

Orthogonal: vektoren breiten sich zu einem Rechteck aus
Nicht Orthogonal: vektoren breiten sich zu einem Parallelogramm aus.

ledum aktiv_icon

17:05 Uhr, 03.07.2016

Hallo
eine Vorstellung wie diese "also der kürzeste Weg von der Projektion zu

b_{2}

. Und genau diesen kürzesten Weg nennen wir u_2."
wird dir sehr hinderlich sein, wenn du mit VR umgehst, die nicht mehr euklidisch sind.
klar ist doch hoffentlich: jeden Vektor kann man als summe 2 er Vektoren , die beliebige Richtung haben aufteilen.
wenn du jetzt

v 1

hast und von

v_{2}

die Komponente in

u 1

Richtung bestimmst. also

v_{2} | | = < v_{2}, u_{1} > \cdot \frac{u_{1}}{| u_{1} |}

dann ist der Rest von

v_{2}

die daze senkrechte Komponente! also

v_{2}_| = v_{2} - v_{2} | |

in einer Zeichnung ist dein Argument richtig, aber es sagt ja nicht, wie man diese "kürzeste Verbindung" bestimmt.
zu der Frage; Vielleicht eine kleine Frage zwischendurch bevors weitergeht bitte: Warum spannen beide Basen eigentlich genau denselben Raum(U_2) auf?
die 2 (oder mehr) orthogonalen Vektoren sind doch aus linearkombination der ursprünglichen Vektoren entstanden. damit müssen sie doch in derselben ebene bzw Raum liegen wie die ursprünglichen, also kann man jeden Vektor den man mit den urspr. linear kombinieren

a \cap

auch mit den neuen kombinieren,.
wieder schlecht für allgemeine VR ist
Orthogonal: vektoren breiten sich zu einem Rechteck aus
Nicht Orthogonal: vektoren breiten sich zu einem Parallelogramm aus.
besser othogonale Vektoren haben das Skalarprodukt 0.

d . h

. im euklidischen Raum spannen je 2 mit demselben Fußpunkt ein Rechteck auf.
Gruß ledum

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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