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Orthonormalbasis bestimmen

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

MathMP

21:33 Uhr, 27.02.2020

Hallo, ich habe leider keine Lösung für folgende Aufgabe. Wäre super wenn jrmand sich das Beispiel ansehen könnte:

Man betrachte Unterraum

U

R^{4},

welcher von folgenden Vektoren aufgespannt wird:

\vec{v 1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

\vec{v 2} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 3 \\ 3 \end{matrix})

\vec{v 3} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

a

.)Bestimme Orthonormalbasis!

b

.)Welche Dimension besitzt U?

c

.)Projezieren Sie den Vektor

\vec{p} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

a .)

Vorher bestimme ich mal eine "normale" Basis. In Matrix geschrieben und dannach Gaußalgorithmus angewandt.

(\begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & - 3 & 3 \\ 2 & 2 & - 4 & 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 2 & 2 \\ 0 & 4 & - 2 & - 2 \end{matrix})

Somit habe ich eine mögliche "normale" Basis gefunden:

\vec{v 1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}); \vec{v 2} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}); \vec{v 3} = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix})

Nun zur Orthonormalbasis: Man "sieht" dass

\vec{v 2}

und

\vec{v 3}

senkrecht aufeinander stehen. Dies kann man leicht mit

\vec{v 2} \cdot \vec{v 3} = 0

überprüfen.

Somit muss

\vec{v 2}

und

\vec{v 3}

nur noch normiert werden.

Ergibt

\vec{v 2} = \frac{1}{\sqrt{4}} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

und

\vec{v 3} = \frac{1}{\sqrt{24}} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix})

Nun zu

\vec{v 1},

dieser Vektor muss auf

\vec{v 2}

und

\vec{v 3}

senkrecht stehen.(für

\vec{v 2}

und

\vec{v 3}

jeweils normierte einsetzen)

\vec{v 1 ⊥} = \vec{v 1} - [\vec{v 2} \cdot \vec{v 1}] \cdot \vec{v 2} - [\vec{v 3} \cdot \vec{v 1}] \cdot \vec{v 3}

\vec{v 1 ⊥} = (\begin{matrix} 1 \\ - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ - \frac{2}{3} \end{matrix}),

weil der Vektor so "ungünstig" handzuhaben ist rechne ich diesen mal 3.

\vec{v 1 ⊥} = 3 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ - \frac{2}{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

Jetzt noch

\vec{v 1 ⊥}

normieren.

\vec{v 1} = \frac{1}{\sqrt{18}} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

.

Somit habe ich meine Orthonormalbasis mit den jeweils normierten und senkrecht aufeinander stehenden Vektoren

: \vec{v 1}, \vec{v 2}, \vec{v 3}

gefunden.

Wäre das richtig gerechnet? Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

12:33 Uhr, 28.02.2020

Hallo,
ob du richtig gerechnet hast, kannst du z.B. überprüfen,
indem du nachschaust, ob

v_{1}

senkrecht auf

v_{2}

und

v_{3}

steht ...
Gruß ermanus

MathMP

13:31 Uhr, 28.02.2020

Hmm, muss ich da nur

\vec{v 1} \cdot \vec{v 2}

und

\vec{v 1} \cdot \vec{v 3}

und

\vec{v 2} \cdot \vec{v 3}

rechnen und wenn überall null als Lösung rauskommt ist es eine Orthonormalbasis?

ermanus aktiv_icon

13:55 Uhr, 28.02.2020

Nein: Wenn sie nicht orthogonal zu einander sind, dann weißt
du sicher, dass deine Berechnung falsch ist. Das ist so wie mit der
Neunerprobe in der Grundschule.
Es ist eben nur eine notwendige Bedingung.

MathMP

14:06 Uhr, 28.02.2020

2 Fragen:

1)Aber man muss das so überprüfen:

\vec{v 1} \cdot \vec{v 2} = 0

\vec{v 1} \cdot \vec{v 3} = 0

und

\vec{v 2} \cdot \vec{v 3} = 0

?

2)Beim Beispiele rechnen ist mir bezüglich der Projektion eines Vektors auf einen Unterraum folgendes aufgefallen: "Man kann verschiedene Orthonormalbasen bestimmen aber wenn man die Projektion eines Vektors auf verschiedene Orthonormalbasen berechnet, kommt für die Projektion jedes mal das selbe Ergebnis raus"
Ist das Zufall? Oder ist das immer so?

ermanus aktiv_icon

14:13 Uhr, 28.02.2020

Man muss nicht, aber es ist doch sinnvoll, wenn man
Fehlrechnungen rasch erkennen möchte.
Eh' du jetzt weiter "philosophierst", kannst du doch
ohne großen Aufand, d.h. mit Kopfrechnen, prüfen, ob

v_{1} \cdot v_{2} = 0

ist.

MathMP

14:16 Uhr, 28.02.2020

Danke, was meinst du zur Frage 2?

ermanus aktiv_icon

14:19 Uhr, 28.02.2020

Zu deiner Frage 2): Das ist immer so.

MathMP

14:21 Uhr, 28.02.2020

Danke! Ich habe in der obigen Rechnung übrigens einen Rechenfehler, welchen ich durch den Tipp schnell finden konnte.

ermanus aktiv_icon

14:45 Uhr, 28.02.2020

Prima!
Noch ein kleiner Tipp, der dir das Leben manchmal einfacher macht.
Mir ist aufgefallen, dass du bei der Bestimmung einer Basis von

U

"ungeschickt" vorgehst. Gauss ist ja OK, aber eigentlich kannst du doch
mehr nutzen:
"Bei beliebigen elementaren Zeilenumformungen geht ein Erzeugendensystem
in ein Erzeugendensystem über."

Damit kannst du deine Matrix z.B. auf die viel angenehmere Form

(\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array})

bringen ;-)
Gruß ermanus

MathMP

18:32 Uhr, 28.02.2020

Danke!

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