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Orthonormalbasis beweise
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Tags: Lineare Unabhängigkeit, Orthonormalbasis
 
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Würde das so stimmen um zu beweisen das die Vektoren, Vektoren einer Orthonormalbasis sind? Ich habe eben gemerkt dass ich die Aufgabe schneller hätte lösen können. Indem ich das Skalarprodukt der Vektoren nehme, denn es gilt ja: delta_(ji) für und 0 für 1. Bild: Aufgabenstellung 2. Bild: Meine Rechnnung   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Julian, Du hast nachgewiesen, dass die gegebenen Vektoren die Norm 1 haben und eine Basis bilden. Damit sie aber eine Orthonormalbasis bilden, muss noch gezeigt werden, dass sie paarweise orthogonal zu einander sind. Wenn man die (von Dir "zu spät" entdeckte) Skalarprodukt-Eigenschaft nachweist, ergibt sich die lineare Unabhängigkeit automatisch mit. Als Beispiel dafür, dass Dein Nachweis unvollständig ist, nimm z.B.: . Diese Vektoren sind normiert und bilden eine Basis des . Gruß ermanus |
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Also muss man nur: 1. Den Betrag der Vektoren ermitteln um zu prüfen ob sie gleich 1 ist. 2. Alle Vektoren auf Orthogonalität mit dem Skalarprodukt prüfen. Wenn usw. ist, sind sie Orthogonal und lin. unabhängig. Und erst wenn beide Bedingungen erfüllt sind, sind die Vektoren Orthogonalbasisvektoren. Stimmt das? |
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du brauchst nur 2. zu prüfen, da ja 1. darin enthalten ist (i=j): . |
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Stimmt! Danke :-) |
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