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Orthonormalbasis dreier Vektoren

Universität / Fachhochschule

Tags: Lineare Algebra, Orthonormalbasis, Vektor

assass612 aktiv_icon

01:38 Uhr, 23.01.2018

Guten Abend,

folgende Aufgabe bereitet mir zurzeit Probleme:

(Orthonormalisierung) Im

C 4

seien die drei linear unabhängigen Vektoren:

v 1 = (i,0,0,0) T; v 2 = (0,1,0, - i) T; v 3 = (- i,0,0,1) T

a)

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis

{u 1, u 2, u 3}

des Raums

V =

spann

{

v 1, v 2, v 3}

.

Meine bisherigen Ergebnisse sind

u 1 = (i,0,0,0); u 2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (0,1,0, - i)

für

u 3

habe ich das klassischen Gram-Schmidt Verfahren angewendet mit :

u3´

= v 3 - u 2 < u 2, v 3 > - u 1 < u 1, v 3 > \Rightarrow u 3 =

u3´ / ||u3´||

Nach vielem Nachrechnen komme ich immer auf das Ergebnis

u 3 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (0,0 . 5 i,0,1 . 5)

Falls jemand bitte einen richtigen Lösungsweg für

u 3

angeben könnte wäre ich sehr dankbar da mich diese Aufgabe schon viel zu viel Zeit gekostet hat.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Bummerang

09:29 Uhr, 23.01.2018

Hallo,

in Klausuren, in denen man traditionell wenig Zeit für umfangreiche Berechnungen hat, empfiehlt es sich immer, vor dem Losrechnen eine genaue Datenanalyse vorzunehmen. Hier zum Beispiel fällt auf, dass die dritten Komponenten der Vektoren sämtlichst mit Null besetzt sind. Da würde ich aus der Hüfte geschossen wetten, dass

{(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}

eine Basis ist. Wenn sich alle drei vorgegebenen Vektoren aus dieser Basis linearkombinieren lassen, dann spannen diese den selben Vektorraum auf. Wenn diese dann noch orthonormal und linear unabhängig zueinander sind, sind sie eine Orthonormalbasis. All das lässt sich durch ohne viel Rechenaufwand durch einfaches Hinschreiben abarbeiten.

Z . B . :

(\begin{matrix} i \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = i \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

. .

.

und

< (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) > = 0

. .

.

und

| | (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) | | = 1

assass612 aktiv_icon

13:26 Uhr, 23.01.2018

Hallo,
Danke für die schnelle Antwort, jedoch wird in der Aufgabe hier ausdrücklich verlangt, dass man die orthonormalbasis mithilfe des Gram-Schmidt Verfahrens berechnet, was ich unglücklicherweise anfänglich nicht hingeschrieben habe.

ledum aktiv_icon

21:08 Uhr, 23.01.2018

Hallo
warum zeigst du uns nicht deine Rechnung? eigentlich ist die doch leicht? was hast du für die 2 Skalarprodukte raus?
dass dein

u_{3}

nicht den Bertrag 1 hat kannst du hoffentlich selbst sehen.
Gruß ledum

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