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Orthonormalbasis mit komplexen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Skalarprodukt, Vektorraum

Ebelina aktiv_icon

11:36 Uhr, 25.01.2016

Ich soll eine Orthonormalbasis in

ℂ

bestimmen

v_{1} = {(i, 0, 0, 0)}^{T}

e_{1} = \frac{1}{i} {(i, 0, 0, 0)}^{T} = {(1, 0, 0, 0)}^{T}

v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - i \end{matrix}) - < (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - i \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) > (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - i \end{matrix}) - i (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - i \end{matrix}) - (\begin{matrix} i \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix} - i \\ 1 \\ 0 \\ - i \end{matrix})

e_{2} = \frac{1}{i} (\begin{matrix} - i \\ 1 \\ 0 \\ - i \end{matrix})

Ist das richtig so?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

11:38 Uhr, 25.01.2016

Es ist überhaupt nicht klar, was Du denn machen musst. Was ist gegeben, was ist das Zeil, was machst Du?

Ebelina aktiv_icon

11:43 Uhr, 25.01.2016

Ich soll eine Orthonormalbasis

{e_{1}, e_{2}}

des Raums

V =

span

{u_{1}, u_{2}}

bestimmen.

DrBoogie aktiv_icon

11:45 Uhr, 25.01.2016

Nun, Deine

e_{1}

und

e_{2}

sind nicht orthogonal zueinander. Also machst Du irgendwo einen Fehler.

Ebelina aktiv_icon

12:18 Uhr, 25.01.2016

ist

v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - i \end{matrix})

DrBoogie aktiv_icon

12:25 Uhr, 25.01.2016

Was ist

v_{2}

?
Welche Vektoren sind überhaupt gegeben?

Ebelina aktiv_icon

15:39 Uhr, 25.01.2016

Folgende Vektoren sind gegeben:

v_{1} = (\begin{matrix} i \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und

v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - i \end{matrix})

Wenn ich doch das Skalarprodukt von

< (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - i \end{matrix}) >

nehme kommt doch null raus oder?

DrBoogie aktiv_icon

15:41 Uhr, 25.01.2016

Ja, richtig.
Also sind

v_{1}

und

v_{2}

schon orthogonal.

v_{1}

ist auch schon normiert. Bleibt nur

v_{2}

zu normieren.

Ebelina aktiv_icon

15:45 Uhr, 25.01.2016

\frac{1}{\sqrt{1^{2} + {(- i)}^{2}}} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - i \end{matrix})

aber dann würde noch eine Null im Nenner stehen?

DrBoogie aktiv_icon

15:50 Uhr, 25.01.2016

Du sollst durch

\sqrt{1 + (- i) \cdot i} = \sqrt{2}

teilen.
Das komplexe Skalarprodukt ist nicht wie das reelle definiert.

ledum aktiv_icon

15:51 Uhr, 25.01.2016

Hallo

| i | = 1

dein erster Vektor hat ja auch den Betrag 1 und nicht

- 1

Gruß ledum.

Ebelina aktiv_icon

15:55 Uhr, 25.01.2016

Vielen Dank! :-)

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