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Orthonormalbasis, orthogonale Projektion

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Orthogonal Projektion, Ortonomalbasis, Unterraum

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12:20 Uhr, 27.01.2018

Hallo,

ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

a)

Ergänzen Sie die beiden Vektoren

v_{1} = {(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}^{T}

und

v_{2} = {(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})}^{T}

zu einer Orthonormalbasis von

ℝ^{4}

.

Meine Überlegungen waren, die Einheitsvektoren von

ℝ^{4} e_{3} = (0, 0, 1, 0)

und

e_{4} = (0, 0, 0, 1)

b)

Es sei

E =

Lin

(v_{1}, v_{2})

die von

v_{1}

und

v_{2}

aufgespannte Ebene. Bestimmen Sie für

x \in ℝ^{4}

den Bildvektor

π_{E} (x)

unter der orthogonalen Projektion auf E.

Hier hab ich leider keine Vorstellung wie ich die Aufgabe lösen soll..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:23 Uhr, 27.01.2018

Hallo
deine 2 Vektoren sind zwar zueinander orthogonal. aber nicht zu

v 1

und

v 2

also musst du doch Gram Schmit verwenden .

v 1

und

v 2

sind schon orhtogonal und einheitsvektoren, also musst du noch 2 weiter bestimmen.
zu

2)

die Projektion in die Ebene sind die Komponenten in

v 1

und

v 2

Richtung.
Gruß ledum

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19:42 Uhr, 27.01.2018

Also das Gram Schmid Verfahren auf

v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}

anwenden?

Kannst du mir vielleicht auch noch so beantworten, ob

(1, - 1, 0, 0)

und

(0, 0, 1, - 1)

passen würden?

Das Problem bei der Projektion ist, dass ich kein konkretes Beispiel habe und es nicht wirklich verstehe.

Gruß Narkama

ledum aktiv_icon

00:36 Uhr, 28.01.2018

Hallo
die sind jetzt wnigstens orttogonal aber ja keine Einheitsvektoren also nicht orthonormal.
bei

b)

hab ich es dir gesagt, lies nochmal nach . wenn du

(x, y, z, w)

in die Ebene mit

(1,0,0,0)

und

(0,0,0,1)

projizierst ergibt sich

(x,0,0, w)

jetzt hast du auch noch ein Beispiel!
Gruß ledum

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13:07 Uhr, 28.01.2018

Also muss ich

{(0, 0, 1, 0)}^{T}

und

{(0, 0, 0,1)}^{T}

jetzt normieren, sprich:

u_{1} = \frac{1}{| | v_{1} | |} \cdot v_{1}, u_{2} = \frac{1}{| | v_{2} | |} \cdot v_{2}

etc...?

Und das bildet dann meine Orthonormalbasis?

Gruß Nakrama

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13:22 Uhr, 28.01.2018

Jedoch sind diese, nachdem ich sie normiere, immer noch

{(0, 0, 1, 0)}^{T}

und

{(0, 0, 0, 1)}^{T}

.
Oder etwa nicht?

Habe in einem anderen Forum, die Antwort gekriegt, dass ich

{(1, - 1, 0, 0)}^{T}

und

{(0, 0, 1, - 1)}^{T}

nehmen könne, ich bin unsicher, habe im Skript dazu auch ein Beispiel gehabt, wo dann

{(0, 0, 1)}^{T}

ergänzt wurde für

ℝ^{3},

allerdings stand keine Bemerkung dabei, dass es explizit dieser Vektor sein muss. Muss es nun wirklich ein Einheitsvektor sein?

ledum aktiv_icon

16:27 Uhr, 28.01.2018

Hallo
das verstehe ich nicht!
wenn du

(- 1,1,0,0)

normierst musst du doch nur durch den Betrag also

\sqrt{2}

teilen, wie kommst du auf völlig andere Vektoren?
Gruß ledum

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16:52 Uhr, 28.01.2018

Nein, für

(1, - 1, 0, 0)

und

(0, 0, - 1, 0)

hab ich dann

(\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0)

und

(0, 0, - \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})

raus, die Norm ist jeweils 1 und die Skalarprodukte von

< v_{i}, v_{j} > i \neq j

mit diesen Vektoren ist auch immer

0,

also bilden diese doch mit

v_{1}

und

v_{2}

eine Orthonormalbasis?

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17:59 Uhr, 28.01.2018

Ich verstehe deine Antwort bezüglich der

b)

leider nicht ganz "zu

2)

die Projektion in die Ebene sind die Komponenten in

v 1

und

v 2

Richtung." und "wenn du

(x, y, z, w)

in die Ebene mit

(1,0,0,0)

und

(0,0,0,1)

projizierst ergibt sich (x,0,0,w)" also bei deinem Beispiel verstehe ich nicht wie ich auf

x

und

w

kommen soll. Die Nullen in der Mitte verstehe ich.
Wenn ich das Prinzip übertragen würde, müsste es ja bezüglich meiner Ebene:

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, z, w)

sein, oder?

ledum aktiv_icon

00:55 Uhr, 29.01.2018

Du hast inzwischen die Frage noch in einem anderen thread gestellt, so wie dort geht es auch. aber was ist denn die Komponente von

(x, y, z, w) \in v_{1}

Richtung, was die in

v_{2}

Richtung, dann erste Komponente

\cdot v 1

+2te Komponente

\cdot v_{2}

ist die Projektion. das ist mein Weg.
Gruß ledum

Lawliet aktiv_icon

00:59 Uhr, 29.01.2018

Ja hab ich, weil es echt dringend ist..

In

v_{1}

Richtung wäre doch

x

und

v_{2} y

oder?

Lawliet aktiv_icon

01:06 Uhr, 29.01.2018

Wäre meine Lösung, die ich dort angegeben habe, aus dem anderen Thread, denn richtig?

ledum aktiv_icon

11:50 Uhr, 29.01.2018

Hallo
nein , die Komponente in

v_{1}

richtung ist das Skalarprodukt von

\vec{x}

mit

v_{1}

.
den anderen thread finde ich grad nicht, aber du kannst ja leicht fesstellen ob man den Bildvektor als Linearkombination von

v 1

und

v 2

schreiben kann, dann liegt er in der Ebene!
Gruß ledum

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