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Orthonormalbasis und Diagonalmatrix
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: darstellungsmatrix, Diagonalgestalt, Orthonormalbasis, Vektorraum
 
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Es sei der euklidische Vektorraum Rn mit Skalarprodukt ⟨·, ·⟩ und der von diesem Skalarprodukt induzierten Norm · . Weiter sei ∈ ein Vektor mit der Länge also . Die Abbildung σw → sei gegeben durch: σw(v) − 2 · ⟨v, w⟩ · Es sei und ⟨·, ·⟩2 das Standardskalarprodukt. Beschreiben Sie σw geometrisch! Zeigen Sie, dass σw eine Isometrie ist! Zeigen Sie: Aus ⊥ folgt σw(v) . Zeigen Sie, dass es eine Orthonormalbasis gibt, bezüglich der die darstellende Matrix von σw Diagonalgestalt hat. Geben Sie die Diagonalmatrix an! Ich habe mit dem Teil der obigen Aufgabe Probleme, . . ich weiß nicht, wie ich ansetzen soll. Die Teile bis sind kein Problem, aber bei komme ich leider auf keine Idee. Ich wäre denkbar, wenn mir jemand etwas Licht ins Dunkel bringen könnte. Viele Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, zu d): ergänze zu einer Basis von . Auf diese Basis wende man Gram-Schmidt an. Dann hat man eine Orthonormalbasis von . Betrachte die darstellende Matrix von bzgl. dieser Basis. Bilde also , um die Spalten der Matrix zu bestimmen. Gruß ermanus |
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Danke. Das war auch meine Idee, da ja bereits die Norm 1 hat. Mein Problem ist allerdings, dass ich das ONV von Schmidt kenne und auf gegebene Vektoren anwenden kann, aber hier habe ich keine Vektoren aus gegebenen realen Zahlen. Ich kann ja nicht einfach . B. setzen und mit Vektoren v2,...,vn dazu konstruieren. Wäre es möglich, dass Sie mir die Lösung detaillierter erklären? Danke und viele Grüße |
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Du musst doch nur wissen, dass man aus einer Basis von eine Orthonormalbasis gewinnen kann, und bei Gram-Schmidt kann man es sogar so machen, dass der erste Vektor auch der erste Vektor der ONB (Orthonormalbasis) ist. Wie die Vektoren aussehen, ist doch vollkommen egal. Einzig wichtig ist die EXISTENZ einer ONB, die mit beginnt. |
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Mein Problem ist, dass wirst dem Thema nur eine Vorlesung und keine Übung hatten. Ist es so, dass eine Darstellungsmatrix zu einer . bezüglich einer ONB immer Dreiecksgestalt hat? Und wie gebe ich diese Diagonalmatrix an? |
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Nein, das ist nicht so. Aber du weißt doch aufgrund von c), dass wegen folgen muss: . Was ist nun ? |
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wenn ich abbilde, erhalte ich . Und nun stelle ich diese Bilder als Linearkombination der Basisvektoren dar und erhalte die eindeutig bestimmten Koordinaten, die die Spalten der Matrix sind? |
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Ja! Genau so! Damit hast du bzgl. der Basis die Matrix , oder? |
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Ich denke, ja. |
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Ich hoffe, dass du das nicht nur so denkst, sondern dass du davon zweifelsfrei überzeugt bist. . Die erste Spalte der Matrix heißt also , , also lautet die zweite Spalte , etc. etc. ... |
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Nein, ich habe es komplett verstanden. Ich habe sonst mit Darstellungsmatrizen auch kein Problem, nur fehlte mir diesmal aufgrund des neuen Stoffes und der ausgefallenen Übung der klare Blick auf das Ganze. Und dann hat mir der Kopf so geraucht, dass ich nicht geblickt habe, dass mir hilft. Danke vielmals, das war für mich sehr ergiebig und ich bin Ihnen sehr dankbar. Viele Grüße |
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