Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Orthonormalbasis von einem Vekorraum der Polynome

Orthonormalbasis von einem Vekorraum der Polynome

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Orthonormalbasis, Skalarprodukt, Vektorraum

roxi121211 aktiv_icon

19:11 Uhr, 03.12.2017

Hallo, ich habe einen Vektorraum

ℝ [x]

der Polynome vom Grad

\leq 2

mit der standardbasis aus:

p 0 (x) = 1 p 1 (x) = x

und

p 2 (x) = x^{2}

ℝ [x]

wir mit dem Skalarprodukt

< f, g > := \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) d x

zu einem euklidischen Vektorraum.
Hier soll ich mit dem Gram-Schmidtsxhen Orthonormalisierungsverfahren eine ONB berechnen.
Dafür hab ich erstmal meine Vektoren aufgeschrieben:

v 1 = 1, v 2 = x

und

v 3 = x^{2}

Mein erster Orthonormalvektor:

u 1 = v \frac{1}{| v 1 |}

= \frac{1}{\sqrt{\int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 d x}}

= \frac{1}{\sqrt{2}}

Ist das so richtig?
Kann ich dann so weitermachen?

C_{2} = v 2 ≺ v 2, u 1 > \cdot u 1

= x - \int_{- 1}^{1} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} d x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}

= x

u 2 = \frac{C_{2}}{| C_{2} |}

= 3 \frac{x}{\sqrt{6}}

Und dann

u 3

analog?

Wäre klasse, wenn mir jemand helfen könnte :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

19:26 Uhr, 03.12.2017

Bis jetzt richtig.

roxi121211 aktiv_icon

19:53 Uhr, 03.12.2017

Für

u 3 :

C_{3} = v 3 ≺ v 3, u 1 > \cdot u 1 ≺ v 3, u 2 > \cdot u 2

= x^{2} - \int_{- 1}^{1} x^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} d x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \int_{- 1}^{1} x^{2} \cdot 3 \frac{x}{\sqrt{6}} d x \cdot 3 \frac{x}{\sqrt{6}}

= x^{2} - \frac{2 - \sqrt{6}}{6}

u 3 = \frac{C_{3}}{| C_{3} |}

= \frac{x^{2} - \frac{2 - \sqrt{6}}{6}}{\sqrt{\int_{- 1}^{1} x^{2} \cdot x^{2} d x}}

= \frac{x^{2} - \frac{2 - \sqrt{6}}{6}}{\frac{\sqrt{10}}{5}}

Wie kann ich denn den letzten schritt noch weiter vereinfachen?

DrBoogie aktiv_icon

19:56 Uhr, 03.12.2017

Viel kann da nicht vereinfacht werden.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1403114

1403088

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?