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Orthonormalbasis zum VR der Polynome

Schüler , 12. Klassenstufe

Polynome

Tags: ONB, Orthonormalbasis, polynom, Vektorraum, VR

Shadowhunter123

17:15 Uhr, 01.07.2012

Hi,

ich habe Schwierigkeiten mit den Vektorraum der Polynome vorzustellen.
Soweit ich weiß sind jene Polynome Elemente des VR der Polynome n-ten Grades, die durch diese Gleichung beschrieben werden können:
$y = a 0 + a 1 \cdot x + a 2 \cdot x^{2} + a 3 \cdot x^{3} + . .$ . $+$ an*x^n

Der VR hat damit die Dimension $n + 1$ . (schließlich steht da ja noch ein $a 1 \cdot x^{0})$

Mich irritiert, dass der VR so definiert ist und es fällt mir schwer, das ganze in Vektorschreibweise (schließlich ist das ja ein VR) aufzuschreiben, um so eine geeignete Basis finden zu können.

Kann ich beispielsweise für den Vektorraum der Polynome 3. Grades die Schreibweise

$V (3) := (\begin{matrix} 1 \\ x \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix})$

nutzen?
Oder ist das nicht zulässig?

Falls so eine vektorielle Schreibweise ungültig ist... wie finde ich eine geeignete Basis des VR der Polynome n-ten Grades?
Ist eine gültige orthogonale Basis $B$ des oben genannten

$V (3) := (\begin{matrix} 1 \\ x \\ x^{2} \\ x^{3} \end{matrix})$

nicht einfach:

$B (V (3)) := {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} 0 \\ x \\ 0 \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ x^{2} \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ x^{3} \end{matrix})}$

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

mathemaus999

18:12 Uhr, 01.07.2012

Also,

du musst dich von der Vorstellung lösen, dass die Elemente eines Vektorraums immer wie die bekannten Vektoren aussehen. Eine Menge mit einer Verknüpfung, die die für einen Vektorraum geforderten Eigenschaften hat, nennt man halt Vektorraum. Das können in dem Fall auch Polynome sein.

Grüße

Shadowhunter123

18:17 Uhr, 01.07.2012

Danke für deine Antwort, mathemaus999.

Dann nehme ich mal an, ich darf den VR nicht so wie oben definieren.
Ist der VR der Polynome n-ten Grades dann ganz einfach nur durch dieses Polynom $p$ definiert?

$p = a 1 +$ a2⋅x $+$ a3⋅x2 $+$ a4⋅x3 $+ . .$ . $+$ an*x^n

Da man die Elemente des Raums durch Linearkombination der Basisvektoren darstellen kann, wäre dann die Basis $B$ des VR der Polynome n-ten Grades einfach nur:

$B := {1, x, x^{2}, x^{3}, ..., x^{n}}$

, oder?

Wie überprüfe ich dann, ob die Basisvektoren orthogonal aufeinander im Raum stehen und wie normiere ich meine Basis?

mathemaus999

18:24 Uhr, 01.07.2012

Also,

deine Basis ist schon mal gut. Du musst jetzt natürlich noch ein Skalarprodukt definieren bzw. eine Definition dafür vorgegeben haben. Gewöhnlich geht das über eine Integral.

Grüße

pwmeyer aktiv_icon

18:40 Uhr, 01.07.2012

Hallo,

noch ein Hinweis: Du hast Terme $x^{0}, x^{1}, . . x^{n},$ also (n+1)-Stück aber nur $n$ Koeffizienten $a_{1}, ..., a_{n}$ angeschrieben. Am besten beginnst Du mit $a_{0}$ .

Gruß pwm

Shadowhunter123

18:55 Uhr, 01.07.2012

Nochmals Danke für deine Antwort, mathemaus999.

Stimmt, um Orthogonalität überprüfen zu können, wäre es bestimmt nicht verkehrt, ein Skalarprodukt einzuführen haha.

Soweit ich weiß, kann man das Skalarprodukt von 2 stetigen Funktionen $f, g : [a, b] \to ℂ$ mit $a, b \in ℝ$ definierbar als:
$< f, g > := \int_{a}^{b}$ f(y)*g-quer(y) $d y$

g-quer bedeutet einfach nur, dass die Funktion $g$ komplex konjugiert wurde, oder?

Da ich mich mit den Polynomen aber nur im Reellen aufhalte, kann ich auch ein ganz normales $g$ nehmen. Demnach gehen die Abbildungen auch nicht in $ℂ$ sondern von $[a, b] \to ℝ$ . Ich lasse oben aber mal die allgemeine Definition stehen.

Ich nehme an, dass ich für $f$ und $g$ die Polynome aus meiner Basis benutzen soll. Wenn ich das Integral aber löse, kommt nur ein weiteres Polynom raus. Damit die Basisvektoren (hier die Polynome) senkrecht aufeinander stehen, muss das Skalarprodukt und damit das Integral aber 0 sein. Welcher Schritt fehlt mir nun noch?

@ pwmmeyer

Danke für den Hinweis, das ist mir auch vorhin aufgefallen.
Werde den Beitrag oben entsprechend editieren.

Ergänzung:

Habe noch ein wenig im Internet herumgeschaut und es gibt ein paar Themen in anderen Foren, wo ähnliche Fragestellungen zum Vektorraum der Polynome gestellt wurden.
Dort habe ich mir den Tipp abgeschaut, dass ich als Integrationsgrenzen doch 0 und 1 einsetzen könnte. Dann wäre das Skalarprodukt für alle Basisvektoren (sprich Polynome der Basis) symmetrisch, bilinear und positiv definit. Das kann ich nachvollziehen.
Damit hätte ich das Skalarprodukt für den VR der Polynome definiert.
Nun muss ich nur meine Basis noch orthogonal machen. Das probiere ich gleich mal über das Gram-Schmidtsche-Orthogonalisierungsverfahren.
Bin ich auf der richtigen Spur?

Ergänzung 2:

Nach viel Herumrechnerei und gefühlt doppelt so vielen Flüchtigkeitsfehlern bin ich nun endlich am Ziel angekommen und habe eine gescheite Basis gefunden. Habe auch überprüft, dass alle Vektoren schön senkrecht aufeinander stehen.

Vielen vielen Dank nochmal für's unter die Arme greifen, mathemaus999. Thumbs up!

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