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Orthonormale Basis
Universität / Fachhochschule
Skalarprodukte
Vektorräume
Tags: orthonormal, Vektoren
 
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Beispiel1 v1=(7,-1,-1) Geben Sie mit diesem Vektor eine orthonormale Basis für den dreidimensionalen Vektorraum R3 an Beispiel 2 Gegeben sind 2 Vektoren x1=(1,2,-2,-1) x2=(-2,1,1,-2) a) Bestimmen sie zwei weitere Vektoren x3,x4 derart , dass x3 zu x1 und x2 und x4 zu x1,x2 und x3 orthogonal sind. b) Normieren Sie alle 4 Vektoren, sodass diese eine orthonormierte Basis im vierdiemensionalen Vektrorraum R4 darstellen c) Geben SIe den Vektor x1=(5,1,-1,-1) als Lineartkombination dieser vier Basisvektor Er |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo! zu 1): Suche zunächst einen Vektor, der senkrecht zu v1 steht, das kannst du mit dem Skalarprodukt überprüfen, dieses muss 0 werden. z.B. Vektor v2:(0,1,-1) v1*v2 = 0 - 1 + 1 = 0 DAnn finde einen Vektor, der senkrecht auf v1 und v2 steht, das funktioniert gut mit dem Kreuzprodukt: v1 x v2 = (7,-1,-1) x (0,1,-1) = (2,7,7) Die drei Vektoren stehen orthogonal aufeinander, damit sie orthonormal werden, musst du sie jetzt nur noch alle normieren. zu2) Im R^4 weiß ich nicht genau wie das geht, da muss wohl jemand anderes helfen... |
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Hallo, 1) Für die orthogonalen Vektoren v2=(v2_1,v2_2,v2_3) und v3=(v3_1,v3_2,v3_3) gilt jeweils: 7*vn_1 - 1*vn_2 - 1*vn_3 = 0 Bestimmen wir mal zunächst ein v2: 7*v2_1 - 1*v2_2 - 1*v2_3 = 0 Eine Lösung erhält man z.B. indem man einige Komponenten von v2 Null setzt, so daß am Ende 2 Komponenten ungleich Null übrigbleiben, deren Koeffizienten ebenfalls ungleich Null waren. Bei den 3 Komponenten hier erhält man, daß man z.B. v2_3 Null setzen kann. Von den beiden anderen Komponenten setzt man eine mit einem beliebigen Wert, z.B. v2_1=1. Das ergibt: 7*1 - v2_2 - 1*0 = 0 v2_2 = 7 Ein auf v1 orthogonaler Vektor ist also v2=(1,7,0) Für v3 gilt nun: 7*v3_1 - 1*v3_2 - 1*v3_3 = 0 1*v3_1 + 7*v3_2 + 0*v3_3 = 0 Aus der letzten Gleichung ergibt sich: v3_1 = -7*v3_2 Das in die erste Gleichung eingesetzt: -49*v3_2 - 1*v3_2 - v3_3 = 0 -50*v3_2 = v3_3 Wir könenn also v3_2 beliebig wählen und erhalten dazu jeweils ein v3_1 und ein v3_3. Sei jetzte v3_2=1, daraus ergibt sich der orthogonale Vektor: v3=(-7,1,-50) Jetzt hat man eine orthogonale Basis, eine orthonormale Basis erhält man, indem man jeden der orthogonalen Vektoren durch die "Länge" teilt. Die mit unserem Weg ermittelte orthonormale Basis ist: (7/sqrt(51),-1/sqrt(51),-1/(51)) , (1/sqrt(50),7/sqrt(50),0) , (-7/sqrt(2550),1/sqrt(2550),-50/sqrt(2550)) Anderer Weg: Du hast einen Vektor, der Bestandteil einer orthogonalen Basis sein soll. Was, wenn dieser Vektor nichts anderes als das Bild einer linearen Abbildung eines Vektors der "Standard-Orthonormal-Basis" ist. Dann sind die anderen Vektoren der gesuchten orthogonalen Basis z.B. ebenfalls Bilder der anderen Vektoren der "Standard-Orthonormal-Basis". So ist z.B. v1 als (gestreckte) Drehung des Basisvektors (1,0,0) um die y- und die z-Achse darstellbar. Die entsprechenden Drehmatrizen sind: (c1 0 s1) (0 1 0) (-s1 0 c1) c1 steht für cos(alpha_1) und s1 für sin(alpha_1), die Drehung erfolgt um die y-Achse (c2 -s2 0) (s2 c2 0) (0 0 1) c2 steht für cos(alpha_2) und s2 für sin(alpha_2), die Drehung erfolgt um die z-Achse Beide Drehungen hintereinander ausgeführt: (c1*c2 c1*(-s2) s1) (s2 c2 0) (c2*(-s1) (-s1)*(-s2) c1) = (c1*c2 -c1*s2 s1) (s2 c2 0) (-c2*s1 s1*s2 c1) Diese Abbildungsmatrix multipliziert mit unseren Basisvektor (1,0,0) soll (nach einer Streckung mit dem Faktor sqrt(51)) v1 ergeben. Das ergibt komponentenweise: 7 = sqrt(51)*c1*c2 -1 = sqrt(51)*s2 -1 = -sqrt(51)*c2*s1 Aus -1 = sqrt(51)*s2 ergibt sich: s2 = -1/sqrt(51) Damit ermittelt man c2 aus c2^2+s2^2=1 |c2| = sqrt(1 - 1/51) = sqrt(50/51) Die Zuordnung des Winkels zu einem Quadranten ergibt, daß c2=sqrt(50/51) ist. In der letzten Gleichung ergibt sich damit: 1 = sqrt(51)*sqrt(50/51)*s1 1 = sqrt(50)*s1 s1 = 1/sqrt(50) Damit ermittelt man c1 aus c1^2+s1^2=1 |c1| = sqrt(1 - 1/50) = sqrt(49/50) Die Zuordnung des Winkels zu einem Quadranten ergibt, daß c2=sqrt(49/50) ist. Probe mit der ersten Gleichung: 7 = sqrt(51)*sqrt(49/50)*sqrt(50/51) 7 = sqrt(51)*sqrt(49/51) 7 = sqrt(49) ; das ist eine wahre Aussage. Damit ergibt sich als Drehmatrix: (7/sqrt(51) 7/sqrt(2550) 1/sqrt(50)) (-1/sqrt(51) sqrt(50/51) 0) (-1/sqrt(51) -1/sqrt(2550) 7/sqrt(50)) Wenn man nun noch berücksichtigt, daß sqrt(50/51)=sqrt(50^2/(51*50))=50/sqrt(2550) ist, erhält man als Drehmatrix: (7/sqrt(51) 7/sqrt(2550) 1/sqrt(50)) (-1/sqrt(51) 50/sqrt(2550) 0) (-1/sqrt(51) -1/sqrt(2550) 7/sqrt(50)) Die Spalten dieser Matrix ergeben die orthonormalen Basisvektoren einer solchen gesuchten Basis. 2) Hier funktioniert das Verfahren mit den Abbildungen auch, ist aber wesentlich aufwändiger, vor allem, weil die Drehmatrix anhand von 2 Bildvektoren gewonnen werden muß. Also machen wir nur den ersten Weg aus 1). Für x3=(x3_1,x3_2,x3_3,x3_4) und x4=(x4_1,x4_2,x4_3,x4_4) gilt: 1*xn_1 + 2*xn_2 - 2*xn_3 - 1*xn_4 = 0 und -2*xn_1 + 1*xn_2 + 1*xn_3 - 2*xn_4 = 0 Addiert man die erste Zeile zweifach auf die zweite Zeile, erhält man für x3: 1*x3_1 + 2*x3_2 - 2*x3_3 - 1*x3_4 = 0 und 0*x3_1 + 5*x3_2 - 3*x3_3 - 4*x3_4 = 0 Jetzt kann man wie unter 1) einige Komponenten Null setzen und die restlichen 2 (mit Koeffizienten ungleich Null !!!) einmal irgenetwas ungleich Null setzen und die andere berechnen. Ich setze x3_3=0 (damit ich nicht irgendwelche "Drittel" erhalte) und x3_4=5 (das ist der Koeffizient von x3_2 !!!), damit ergibt sich x3_2=4. Das alles in die erste Gleichung eingesetzt ergibt: x3_1 = -2*4 + 2*0 + 1*5 = -8+ 5 = -3 Nach dem Normieren ergibt sich x3 als: (-3/sqrt(50),4/sqrt(50),0,5/sqrt(50)) Für x4 gilt neben den o.a. 2 Gleichungen ebenfalls: -3/sqrt(50)*x4_1 + 4/sqrt(50)*x4_2 + 0*x4_3 + 5/sqrt(50)*x4_4 = 0 | *sqrt(50) -3*x4_1 + 4*x4_2 + 0*x4_3 + 5*x4_4 = 0 | *sqrt(50) Das ergibt folgendes Gleichungssystem: 1*x4_1 + 2*x4_2 - 2*x4_3 - 1*x4_4 = 0 ; diese Zeile bleibt unverändert -2*x4_1 + 1*x4_2 + 1*x4_3 - 2*x4_4 = 0 ; zu dieser Zeile wird die 1-te Zeile 2-fach addiert -3*x4_1 + 4*x4_2 + 0*x4_3 + 5*x4_4 = 0 ; zu dieser Zeile wird die 1-te Zeile 3-fach addiert 1*x4_1 + 2*x4_2 - 2*x4_3 - 1*x4_4 = 0 ; diese Zeile bleibt unverändert 0*x4_1 + 5*x4_2 - 3*x4_3 - 4*x4_4 = 0 ; diese Zeile bleibt unverändert 0*x4_1 + 10*x4_2 - 6*x4_3 + 2*x4_4 = 0 ; zu dieser Zeile wird die 2-te Zeile (-2)-fach addiert 1*x4_1 + 2*x4_2 - 2*x4_3 - 1*x4_4 = 0 ; diese Zeile bleibt unverändert 0*x4_1 + 5*x4_2 - 3*x4_3 - 4*x4_4 = 0 ; diese Zeile bleibt unverändert 0*x4_1 + 0*x4_2 - 0*x4_3 + 10*x4_4 = 0 ; zu dieser Zeile wird die 2-te Zeile (-2)-fach addiert Das ergibt sofort: x4_4 = 0, setzt man nun in der 2 Gleichung x4_3=5 (Koeffizient von x4_2) bekommt man x4_2=3. Das alles in die erste Gleichung: x4_1 = -2*3 + 2*5 - 1*0 = -6 + 10 - 0 = 4 Nach dem Normieren ergibt sich x4 als: (4/sqrt(50),3/sqrt(50),5/sqrt(50),0) Jetzt muß man noch die beiden x1 und x2 orthonormieren, d.h. man überprüft schnell, daß beide orthogonal sind, also muß man nur noch normieren: (1/sqrt(10),2/sqrt(10),-2/sqrt(10),-1/sqrt(10)) (-2/sqrt(10),1/sqrt(10),1/sqrt(10),-2/sqrt(10)) a) x3=(-3,4,0,5) x4=(4,3,5,0) b) (1/sqrt(10),2/sqrt(10),-2/sqrt(10),-1/sqrt(10)) (-2/sqrt(10),1/sqrt(10),1/sqrt(10),-2/sqrt(10)) (-3/sq rt(50),4/sqrt(50),0,5/sqrt(50)) (4/sqrt(50),3/sqrt(50),5/sqrt(50),0) c) In Komponentenschreibweise ergibt sich: 1/sqrt(10)*t_1 - 2/sqrt(10)*t_2 - 3/sqrt(50)*t_3 + 4/sqrt(50)*t_4 = 5 2/sqrt(10)*t_1 + 1/sqrt(10)*t_2 + 4/sqrt(50)*t_3 + 3/sqrt(50)*t_4 = 1 -2/sqrt(10)*t_1 + 1/sqrt(10)*t_2 + 0*t_3 + 5/sqrt(50)*t_4 = -1 -1/sqrt(10)*t_1 - 2/sqrt(10)*t_2 + 5/sqrt(50)*t_3 + 0*t_4 = -1 Wenn man das löst, ergibt sich als Lösung: t_1 = 10/sqrt(10) t_2 = -8/sqrt(10) t_3 = -16/sqrt(50) t_4 = 18/sqrt(50) Das sind die Koeffizienten für die Linearkombination: (5,1,-1,-1) = 10/sqrt(10)*(1/sqrt(10),2/sqrt(10),-2/sqrt(10),-1/sqrt(10)) - 8/sqrt(10)*(-2/sqrt(10),1/sqrt(10),1/sqrt(10),-2/sqrt(10)) - 16/sqrt(50)*(-3/sqrt(50),4/sqrt(50),0,5/sqrt(50)) + 18/sqrt(50)*(4/sqrt(50),3/sqrt(50),5/sqrt(50),0) |
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| Danke für eure Loesungen ! Habs vor 5 Minuten erklaert bekommen und jetzt gerade verglichen. It is right. |
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