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Orthonormale Basis/Linearkombination

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

MathMP

12:30 Uhr, 18.04.2020

Hallo, eine Frage zur Linearkombination/Vektorräume.

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix});

a)Bestimme eine orthonormale Basis des erzeugten Untervektorraumes U.
b)Ist

\vec{w} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \in U

.

a)orthonormale Basis/Dimension

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ - 2 & - 4 & - 2 \end{matrix});

mittels Gauß umgeformt:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \to

eine mögliche Basis

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Man siehst schön das man hier nur einmal den einen Vektor vom anderen abziehen muss, um eine orthogonale Basis zu erhalten.

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Somit als orthogonale Basis:

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix});

noch normiert

: \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \to

Dies ist nun die gesuchte orthonormale Basis Dimension

= 2

b)

(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \in U

?

Kann und darf man das mit der orthogonalen Basis überprüfen oder muss ich die orthonormale Basis nehmen?

Mit Orthogonaler Basis

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) :

(\begin{matrix} 1 & 0 & | 2 \\ 0 & 1 & | 1 \\ 1 & 0 & | 0 \end{matrix})

Gauß angewandt:

(\begin{matrix} 1 & 0 & | 2 \\ 0 & 1 & | 1 \\ 0 & 0 & | - 2 \end{matrix})

Sieht man sofort

\to

ist nicht in

U,

da keine Lösung des GLS.

Habe ich das Beispiel so richtig gelöst?
Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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