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Orthonormalisierung

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Matrizenrechnung

Skalarprodukte

Tags: Komplex, Matrizenrechnung, Orthonormalbasis, Skalarprodukt

Lyla93 aktiv_icon

16:05 Uhr, 24.05.2013

Auf dem Vektorraum

ℂ

³ ist definiert:

< x, y > := 5 * {\overline{x}}_{1} * y_{1} - i * {\overline{x}}_{1} * y_{2} + i * {\overline{x}}_{2} * y_{1} + {\overline{x}}_{2} * y_{2} + {\overline{x}}_{3} * y_{3}

für

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}), y = (y_{1}, y_{2}, y_{3}) \in ℂ

³.

Ich muss zeigen, dass es sich im ein Skalarprodukt handelt und die Darstellungsmatrix von <.,.> bzgl der Standardbasis {

e_{1}, e_{2}, e_{3}

} angeben.
Das erste habe ich gut hinbekommen (Bilinearität, positiv definit und symmetrisch), bei der zweiten Aufgabe bin ich mir schon unsicher. Ich habe für die Standardbasis die Vektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) eingesetzt - kann ich das so machen, oder muss ich wegen dem Komplexen etwas beachten?

Anschließend muss ich mit dem Gram-Schmidtschen Verfahren eine Orthonormalbasis B von

ℂ

³ bezüglich <.,.> finden. Ich kenne das Verfahren und habe damit auch schon gearbeitet, aber da hatte ich immer bestimmte Vektoren vorgegeben die ich orthogonalisieren musste. Wie gehe ich hier vor?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Bummerang

16:27 Uhr, 24.05.2013

Hallo,

"Ich habe für die Standardbasis die Vektoren

(1,0,0), (0,1,0)

und

(0,0,1)

eingesetzt - kann ich das so machen, oder muss ich wegen dem Komplexen etwas beachten?"

Ja, Du musst beachten, dass 1 eigentlich

1 + 0 \cdot i

und 0 eigentlich

0 + 0 \cdot i

ist.

Lyla93 aktiv_icon

16:33 Uhr, 24.05.2013

Okay vielen Dank! Dann bleibt nur noch mein Problem mit dem Gram-Schmidt-Verfahren.

Lyla93 aktiv_icon

11:05 Uhr, 25.05.2013

Mir fällt wirklich gar nicht ein, wie ich das lösen könnte, und ich muss das heute fertig machen :(
Keiner eine Idee?

anonymous

13:55 Uhr, 25.05.2013

Mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens kann eine Basis in eine Orthonormalbasis überführt werden. Dabei ist es egal mit welcher Basis man anfängt (zumindest, wenn man nur irgendeine Orthonormalbasis braucht und nicht eine bestimmte).
Eine Basis hast du ja schon genannt die Standardbasis:

B_{S t a n d a r d} = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}

mit

b_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), b_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), b_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Das war ja anscheinend dein Haupt-Problem:
"aber da hatte ich immer bestimmte Vektoren vorgegeben die ich orthogonalisieren musste"

Dann Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren:

v_{1} = \frac{b_{1}}{| | b_{1} | |}

w_{2} = b_{2} - 〈 b_{2}, v_{1} 〉 v_{1}

v_{2} = \frac{w_{2}}{| | w_{2} | |}

w_{3} = b_{3} - 〈 b_{3}, v_{1} 〉 v_{1} - 〈 b_{3}, v_{2} 〉 v_{2}

v_{3} = \frac{w_{3}}{| | w_{3} | |}

Dann ist

{v_{1}, v_{2}, v_{3}}

eine enstprechende Orthonormalbasis.

Lyla93 aktiv_icon

14:09 Uhr, 25.05.2013

Vielen Dank für deine Antwort!

Allerdings habe ich dazu noch ein paar Fragen:
Ich habe das jetzt so durchgerechnet, und bekomme direkt für v1=b1, da ||b1||=1. Für w2 erhalte ich dann (weil das Skalarprodukt <b2,v1>=0 ist) ebenfalls: w2=b2, somit folgt für v2 analog zu v1: v2=b2. Bei v3 ist es genauso, sodass ich am Ende als Orthonormalisierte Basis wieder die zu Anfang benutzte Basis habe.
Passt ja eigentlich, da orthonormalisiert bedeutet, dass die Vektoren der Orthogonalbasis die Länge 1 haben, was für die Standardvektoren ja gilt. Aber sollte ich dann nicht besser mit einer anderen Basis rechnen, so ist es doch irgendwie unsinnig? Nur mit welcher?

anonymous

14:32 Uhr, 25.05.2013

Du musst aufpassen, dass hier natürlich nicht die Standardnorm verwendet werden muss, sondern die, welche durch das entsprechende Skalarprodukt induziert wird. Also:

| | b_{1} | | = \sqrt{〈 b_{1}, b_{1} 〉} = \sqrt{5 \cdot 1 \cdot 1 - i \cdot 1 \cdot 0 + i \cdot 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0} = \sqrt{5} \neq 1

Daher gilt:

v_{1} = \frac{b_{1}}{| | b_{1} | |} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Die Standardbasis ist in diesem Fall also wohl

k e i n e

Orthonormalbasis!

Und es ist nicht unsinnig mit dieser Basis zu rechnen. Wie bereits geschrieben, kann man aber auch

j e d e

andere

B a s i s

verwenden, wenn man möchte.

Edit:
Sorry, mir ist gerade aufgefallen, dass ich da einen kleinen Fehler beim Gram-Schmidt-Verfahren stehen habe. Da wir uns auf einem unitären Vektorraum befinden ist das Skalarprodukt nicht wirklich symmetrisch, sondern hermitesch. Daher kommt es auf die Reihenfolge der Vektoren an. So müssen da

〈 v_{1}, b_{2} 〉

und

〈 v_{1}, b_{3} 〉

und

〈 v_{2}, b_{3} 〉

statt

〈 b_{2}, v_{1} 〉

und

〈 b_{3}, v_{1} 〉

und

〈 b_{3}, v_{2} 〉

stehen. Also korrekt:

v_{1} = \frac{b_{1}}{| | b_{1} | |}

w_{2} = b_{2} - 〈 v_{1}, b_{2} 〉 v_{1}

v_{2} = \frac{w_{2}}{| | w_{2} | |}

w_{3} = b_{3} - 〈 v_{1}, b_{3} 〉 v_{1} - 〈 v_{2}, b_{3} 〉 v_{2}

v_{3} = \frac{w_{3}}{| | w_{3} | |}

Fängt man mit der Standardbasis an erhält man so:

v_{1} = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{5}}{5} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{5} \cdot i}{10} \\ \frac{\sqrt{5}}{2} \\ 0 \end{matrix}), v_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Lyla93 aktiv_icon

16:33 Uhr, 25.05.2013

Ach ja, natürlich!
Ich habe das Standardskalarprodukt verwendet, wie dumm von mir... Vielen lieben Dank für deine Hilfe! :-)

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