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Ortskurve bei 2 Extrempunkte

Schüler Kolleg, 11. Klassenstufe

Tags: Funktionenschar, Ortskurve der Extrema

chris-abi2012

01:23 Uhr, 16.03.2011

Huhu,

ich hab da mal ne Frage zu folgender Aufgabe (Thema: Ortskurve):

Für jedes

t > 0

ist eine Funktion

f_{t}

gegeben durch

f_{t} (x) = x^{3} - t \cdot x

Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte der Schar? (Also ja die Ortskurve)

Extremstellen sind:

x_{E} 1 = - \sqrt{\frac{t}{3}}; x_{E} 2 = \sqrt{\frac{t}{3}}

(Die Wurzel zieht sich logischerweise über den gesamten Bruch, weiß aber nicht, wie das hier dargestellt werden kann. :-)

Da ergeben sich somit die Punkte:

H_{p} (- \sqrt{\frac{t}{3}}; \frac{2}{3} t \sqrt{\frac{t}{3}})

und

T_{p} (\sqrt{\frac{t}{3}}; - \frac{2}{3} t \sqrt{\frac{t}{3}})

Ich "isoliere" nun den Parameter

t

3 x^{2} - t = 0

3 x^{2} = t

Nun ersetze ich in beide y-Werte der Extrempunkte den Parameter

t

durch seinen Wert

3 x^{2}

y_{H} = \frac{2}{3} t \sqrt{\frac{t}{3}} = 2 x^{2} \cdot x = 2 x^{3}

y_{T} = - \frac{2}{3} t \sqrt{\frac{t}{3}} = - 2 x^{2} \cdot x = - 2 x^{3}

Das wären ja nun die beiden Ortskurven, so denkt man.

Wenn man den Graphen plottet

(z . B

. mit Funkyplot) und

z . B

. den Parameter

t

durch

2 . . 4 . . 6

ersetzt (Graphenschar), dann ist nur die Ortskurve
mit

y_{T} = - 2 x^{3}

die, die alle Extrempunkte miteinander verbindet (Hoch wie Tiefpunkte).

Wieso ist das so und warum ist die Ortskurve für

y_{H}

keine Ortskurve,
die die Extrempunkte zumindest der Hochpunkte, für die sie gedacht ist,
miteinander verbindet?

Ich schreib am Donnerstag ne größere LK Klausur und würd das bis dahin noch
gerne wissen.

Somit bin ich für alle Antworten offen, die mir helfen könnten das nachzuvollziehen.

LG und DANKE schonmal im Voraus.
Chris