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Ortskurve der Extremstellen dieser Funktion

Schüler Gymnasium,

Tags: Analyse, der Extrema, Funktion, Ortskurve

cena-fan44 aktiv_icon

20:51 Uhr, 10.09.2015

Hey Leute,

Soll die Ortskurve der Extremstellen der Funktion fa(x)=0.5x^4-ax^2 berechnen und das bei

f 1, f 2, f 3

Habe bereits etwas gerechnet die Extremstellen sind: -√a 0 und √a

Für √a habe ich die Ortskurve

0.5 x^{4} - x^{4}

was auch bereits richtig ist, jedoch kommen bei den anderen Extremstellen keine richtige Lösung, zumindest wenn ich es mit dem Graphen kontrolliere.

Vielleicht weiß jemand zu helfen?

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

21:06 Uhr, 10.09.2015

0,5 x^{4} - x^{4} = - \frac{1}{2} x^{4}

" jedoch kommen bei den anderen Extremstellen keine richtige Lösung"

wieso meinst du denn das?

schau nach:
hast du den Graph von

y = - \frac{1}{2} x^{4}

denn richtig eingezeichnet?

.

cena-fan44 aktiv_icon

21:12 Uhr, 10.09.2015

Habe lediglich graphen im TR anzeigen lassen also für a hab ich einmal

1, 2

und 3 anzeigen lassen, aber die ortskurven die ich berechnet habe passen nicht, deswegen wolle ich von euch die Berechnung von der stelle minus wurzel a und 0 um zu vergleichen :-D)

rundblick aktiv_icon

21:19 Uhr, 10.09.2015

.

Egal, welchen Wert du für

a > 0

wählst

\to

ALLE DREI EXTREMA von

\to y = \frac{1}{1} x^{4} - a x^{2}

liegen (ALLE

!)

jeweils auf dieser Kurve

\to y = - \frac{1}{2} x^{4}

entsorge deinen TR und lass dir das zB hier mal zeichnen

\to

http//rechneronline.de/funktionsgraphen/

.

abakus

21:25 Uhr, 10.09.2015

Hallo,
es gibt im Allgemeinen keine "Ortskurve der Extremstellen".
Wenn eine parameterhaltige Funktion einen Parameterabhängigen ExtremPUNKT hat, dann gibt es eventuell eine Ortskurve dieses ExtremPUNKTES.
Und wenn diese Funktion mehrere ExtremPUNKTE hat, dann hat in der Regel jeder der ExpremPUNKTE seine eigene Ortskurve.
Ein Extrempunkt ist (0|0), seine Orts"kurve" besteht nur aus diesem einen von a unabhängigen Punkt.
Der Extrempunkt mit der x-Koordinate

\sqrt{a}

hat die y-Koordinate -0,5a². Von dem kannst du nun die Ortskurve ermitteln.
Da der x-Term nur für a größer gleich 0 definiert (und positiv) ist, kann diese Ortskurve nur für nichtnegative x existieren.
Der dritte Extrempunkt mit der x-Koordinate

- \sqrt{a}

hat auch die y-Koordinate -0,5a².
Auch von dem kannst du nun die Ortskurve ermitteln.

Sollte sich hinterher herausstellen, dass die drei Extrempunkte eine für alle drei Punkte geltende gemeinsame Beschreibung der Ortskurve besitzen, so ist dies keine allgemeingültige Gesetzmäßigkeit, sondern höchstens den besonderen günstige Umständen der gegebenen Bedingungen geschuldet.

cena-fan44 aktiv_icon

21:32 Uhr, 10.09.2015

Moment rundblick wie bist du auf diese Gleichung gekommen und wieso sagt Gast dann dass es für jedes Extremum eine eigene Kurve gibt (wovon ich aauch ausgegangen bin)

rundblick aktiv_icon

21:57 Uhr, 10.09.2015

y = - \frac{1}{2} x^{4}

"wie bist du auf diese Gleichung gekommen .."

\to

auf diese Gleichung bist doch DU gekommen

\to 20 : 51

Uhr,

10.09.2015

" ..habe ich die Ortskurve

0.5 x^{4} - x^{4}

.."

"und wieso sagt Gast dann dass es für jedes Extremum eine eigene Kurve gibt"

\to

das hat er wohl so gelernt, denn das ist normalerweise richtig.

nur : bei deinem besonderen Beispiel ist es (zB aus Symmetriegründen) so,
dass es zwar jeweils für alle drei Extrema eine "eigene" Kurve gibt, aber
der Graph von

y = - \frac{1}{2} x^{4}

enthält hier nun genau alle drei ..

Kurz:
wenn die Frage lautet:
Gibt es eine Kurve, auf der alle Extrema von

f_{a} (x) = \frac{1}{2} x^{4} - a x^{2}

herumliegen,
dann kannst du hier fröhlich antworten:

a > 0 \to

\to y = - \frac{1}{2} x^{4}

ok?

nebenbei:
gleich wird Roman-22 genau das Gleiche nochmal etwas mehr ausbreiten und dir
dankenswerterweise noch die Arbeit ersparen, selbst ein Bildchen zu erzeugen.
.

Roman-22

22:01 Uhr, 10.09.2015

Auf die Gleichung bist du doch selbst auch schon gekommen, bloß hast du

\frac{1}{2} \cdot x^{4} - x^{4}

nicht fertig zu

- \frac{1}{2} \cdot x^{4}

vereinfacht.

Ja, es stimmt schon. Jede Kurve der Schar hat im Allgemeinen drei Extremwerte an den Stellen

- \sqrt{a}, 0

und

+ \sqrt{a}

.
Demnach könnte jeder der zugehörigen Extremalpunkte seine eigene Orstkurve für variierenden Parameter a haben.

Wie Gast62 schon ausgeführt hat, rührt sich das relative Maximum

(0 | 0)

aber nicht vom Fleck, der Punkt ist konstant und unabhängig vom Parameter

a

. Seine Orts"kurve" degeneriert also zu diesem Punkt selbst.

Da wir von

a \geq 0

ausgehen müssen, so wir mit den Extremstellen im Reellen bleiben möchten, gilt die Gleichung der Ortskurve

y = - \frac{1}{2} \cdot x^{4}

die sich für den Extrempunkt an der Stelle

x = \sqrt{a}

einstellt nur für

x \geq 0

.

"Zufälligerweise" erhalten wir aus Symmetriegründen aber als Ortskurve für

x = - \sqrt{a}

die gleiche Gleichung

y = - \frac{1}{2} x^{4}

. Diesmal ist aber nur der Zweig mit

x = < 0

relevant.

Da der Punkt

(0 | 0)

ebenfalls auf dem Graph von

y = - \frac{1}{2} x^{4}

liegt, haben wir bei diesem Beispiel die besondere Situation, dass sich alle drei Ortskurven durch eine einzige Gleichung beschreiben lassen.
Schar

Stephan4

22:56 Uhr, 10.09.2015

@ rundblick
Könntest Du bitte verraten, wie man hier einen Link einfügen kann?

Ich finde für dieses Beispiel den hier passend:
http://www.mathopenref.com/graphfunctions.html?fx=0.5*x^4-a*x^2&gx=-0.5*x^4&yh=0&yl=-6&ah=3

@ cena-fan44
Lösen würde ich das Beispiel so: Die Funktion

[1] y = 0,5 x^{4} - a x^{2}

ableiten und Null setzen:

[2] y' = 0 = 2 x^{3} - 2 a x

Den Parameter a durch die Extremstellen

x_{E}

ausdrücken,

[3] a = {(x_{E})}^{2}

und beide in die Funktion

[1]

einsetzen und bekommt damit zu jeder Extremstellen

x_{E}

den Funktionswert

y_{E} :

[4] y_{E} = - 0,5 {(x_{E})}^{4}

:-)

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22:59 Uhr, 10.09.2015

Wow

1 a

danke euch, Hab alles bis ins detail verstanden

cena-fan44 aktiv_icon

23:00 Uhr, 10.09.2015

Wow

1 a

danke euch, Hab alles bis ins detail verstanden

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