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P für 2 ident. Zahlen eines 4-stelligen Slots?

Universität / Fachhochschule

Kombinatorische Optimierung

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Kombinatorik, Kombinatorische Optimierung, laplace, Wahrscheinlichkeitsmaß

RickR aktiv_icon

12:13 Uhr, 14.09.2017

Hallo,

ich habe eine Aufgabe mit Lösung, kann aber die Lösung nicht nachvollziehen. Ich glaube, es könnte einfacher zu lösen sein und verständlicher:

Aufgabe: Bestimme die Wahrscheinlichkeit

(P),

dass eine zufällige Zahlenkombination eines 4-stelligen Zahlenschlosses genau 2 gleiche Ziffern enthält, Ziffern von

0 - 9 (10

insgesamt).

Bisherige Lösung (die wohl korrekt ist):

Zunächst wurde in der Teilaufgabe zuvor die

P

berechnet, dass das Schloss genau 2mal eine 7 enthält. Die

P

hierfür beträgt:

(4

über

2) \cdot 9^{2} = 486 \to \frac{486}{10000} = 0,0486 (10.000

Möglichkeiten gibt es insgesamt)

Nun zurück zur eigentlichen Fragestellung bzw. deren Lösung:

10 \cdot 0,0486 - (10

über

2) \cdot (\frac{4!}{2! \cdot 2!}) = 0,459

Erklärung (die ich bis auf

10 \cdot 0,0486

nicht genau verstehe):

10 \cdot 0,0486,

da man diesmal nicht nur eine Zahl, sondern

10

mögliche hat.

- (10

über

2),

weil diese bereits gewählten Zahlen von den

10

abgezogen werden, denn es dürfen keine weiteren 2 identischen vorkommen.

\cdot (\frac{4!}{2! \cdot 2!})

Die Zahlen werden dann vertauscht (Permutation) mit Wiederholung. Gemeint sind das identische Paar, das vorkommen darf und das Paar, das nicht mehr vorkommen darf (es muss ja genau ein identisches Paar sein).

1. Könnte mir jemand eine andere Erklärung dazu geben? Manchmal hilft es, etwas in anderen Worten darzustellen. Besonders das

\cdot (\frac{4!}{2! \cdot 2!}),

und dass es mit dem Rest multipliziert wird, verstehe ich nicht ganz.

2. Gibt es einen anderen, weniger umständlichen Rechenweg? Wie sähe der aus?

3. Wie würde man dies berechnen, wenn man nicht bereits die Wahrscheinlichkeit für genau

2 x 7

aus der vorgeschobenen Teilaufgabe hätte? Wie würde die Rechnung dann aussehen?

Danke für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

DrBoogie aktiv_icon

12:25 Uhr, 14.09.2017

Es gibt insgesamt

1 0^{4} = 10000

Kombinationen.
Wie viele davon haben eine fixe Zahl

i

genau zweimal? Zuerst mal muss man zwei Stellen wählen, wo diese Zahl steht. Das sind

2

Stellen aus

4

, Situation "Ziehung ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge". Die Anzahl der Varianten ist also

(\binom{4}{2}) = \frac{4!}{2! 2!}

. Jetzt dürfen an den restlichen zwei Stellen nur

9

von

10

Zahlen stehen, daher gibt's

9^{2}

Kombinationen pro eine Belegung der

2

Stellen mit der Zahl

i

. Insgesamt also

9^{2} \cdot (\binom{4}{2})

Kombinationen. Für eine

i

. Aber davon gibt's

10

. Also insgesamt

10 \cdot 2 \cdot (\binom{4}{2})

Kombinationen.

Falls das immer noch nicht klar, versuch einfach "zu Fuss" das Ganze nachvollziehen, wenn nur die Zahlen

0, 1, 2, 3

zugelassen sind, in dem Fall kannst Du einfach Kombinationen zählen.

RickR aktiv_icon

13:29 Uhr, 14.09.2017

Hallo Dr. Boogie,

danke, dass du dich mit meiner Frage beschäftigst! Und so schnell!

Was ich trotz deiner Antwort nicht verstehe:

1. Wieso ist bei dir

(4

über

2)

das Gleiche wie

(\frac{4!}{2! \cdot 2!})

?

2. Wieso wird aus

(9

über

2),

das die bereits verwendete Zahl ausschließt, dann doch wieder

(10

über

2)

?

3. Deine Berechnung und Erklärung kann ich mehr oder weniger nachvollziehen. Du schließt allerdings nicht den Fall aus, dass unter den 9 übrigen Zahlen noch zwei weitere identische auftauchen. Laut Fragestellung soll das Zahlenschloss genau zwei identische Zahlen anzeigen, nicht mehr und auch kein weiteres Paar.
Vielleicht liegt dort der Hund begraben?

DrBoogie aktiv_icon

13:45 Uhr, 14.09.2017

"1. Wieso ist bei dir (4 über 2) das Gleiche wie (4!2!⋅2!)?"

Definition des Zeichens

(\binom{n}{k})

ist

\frac{n!}{k! (n - k)!}

"2. Wieso wird aus (9 über 2), das die bereits verwendete Zahl ausschließt, dann doch wieder (10 über 2)?"

Ich sehe nirgendwo "10 über 2" oder "9 über 2".

"3. Deine Berechnung und Erklärung kann ich mehr oder weniger nachvollziehen. Du schließt allerdings nicht den Fall aus, dass unter den 9 übrigen Zahlen noch zwei weitere identische auftauchen. Laut Fragestellung soll das Zahlenschloss genau zwei identische Zahlen anzeigen, nicht mehr und auch kein weiteres Paar."

Ja, richtig, meine Lösung ist nicht korrekt. Aber man kann sie leicht korrigieren, wenn man einfach die Kombinationen abzieht, wo zwei Paare drin sind. Es gibt

10 \cdot 9 \cdot (\binom{4}{2})

solche Kombinationen (

10 \cdot 9

für die Auswahl der Zahlen, die doppelt vorkommen, und

(\binom{4}{2})

für die Auswahl der Positionen).

Oder anderer Weg: bei der Wahl der "restlichen" Zahlen in meiner Lösung "ohne Zurücklegen" zählen, also

10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot (\binom{4}{2})

statt

10 \cdot 9^{2} \cdot (\binom{4}{2})

.

Das Endergebnis ist also

10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot (\binom{4}{2})

RickR aktiv_icon

14:08 Uhr, 14.09.2017

Hallo DrBoogie,

bei meiner letzten 2. Frage habe ich mich verschrieben. Sie sollte lauten:
Wieso wird aus

9^{2},

das die bereits verwendete Zahl ausschließt, dann doch wieder

10^{2}

?

Ich glaube, ich habe diesen Teil verstanden: 10⋅9⋅8⋅(4 über

2)

Erst wählt man aus

10

Zahlen aus, dann nur noch aus 9 und dann aus

8,

wobei der Abzug jeweils für 2 identische Zahlen gilt,

2 \cdot 2

identische Zahlen. Diese Zahlen können dann auf 2 von 4 Positionen platziert sein, wobei das ja nur für die genau 2 identischen Zahlen gilt.
Richtig?

Bei dem ursprünglichen Lösungsweg ergibt sich eine

P

von

0,459

.

Rechne ich mit deinen Werten, ergeben

\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 6}{10000} = 0,432

.

Ich weiß, dass das erste Ergebnis stimmen muss. Meinst du, der geringe Unterschied liegt daran, dass

z

. B. 3 identische oder 4 identische Zahlen nicht berücksichtigt sind? Oder sind sie es und ich übersehe etwas?

Danke für deine Hilfe!

DrBoogie aktiv_icon

14:34 Uhr, 14.09.2017

Richtige Antwort ist

0.432

.
Das kannst Du einfach mit einem Programm prüfen, dass alle Kombinationen zählt.

Z.B. in Python
kk=0
for i in range(0,10):
for j in range(0,10):
for k in range(0,10):
for m in range(0,10):
if (i==j and i<>k and i<>m and k<>m) or (i==k and i<>j and i<>m and j<>m):
kk=kk+1
if (i==m and i<>k and i<>j and k<>j) or (j==k and i<>j and j<>m and i<>m):
kk=kk+1
if (m==j and i<>j and i<>k and k<>j) or (k==m and i<>k and j<>k and i<>j):
kk=kk+1
print kk

Deine Berechnung verstehe ich nicht, insbesondere was denn

(\binom{10}{2})

bedeuten sollen.

RickR aktiv_icon

14:55 Uhr, 14.09.2017

Hallo DrBoogie,

danke wieder für deine schnelle Antwort!

"Deine Berechnung verstehe ich nicht, insbesondere was denn

(10

über

2)

bedeuten sollen."

(10

über

2)

soll bedeuten, dass 2 von

10

Zahlen ausgewählt werden, die dann vom Rest abgezogen werden. Das ist aber die Erklärung meines Lehrers, nicht meine. Mich verwirrt eben diese Subtraktion, dann wieder Multiplikation.

Habe ich denn den beschriebenen Teil richtig verstanden? "Ich glaube, ich habe diesen Teil verstanden: 10⋅9⋅8⋅(4 über

2) 2)

Erst wählt man aus

1010

Zahlen aus, dann nur noch aus 9 und dann aus

8,8,

wobei der Abzug jeweils für 2 identische Zahlen gilt, 2⋅22⋅2 identische Zahlen. Diese Zahlen können dann auf 2 von 4 Positionen platziert sein, wobei das ja nur für die genau 2 identischen Zahlen gilt.
Richtig?"

Ich habe die Lösung und den Rechenweg von meinem Mathelehrer. Entschuldige, dass ich deshalb deine Lösung infrage stelle.

Jetzt noch mit Python rumzuhantieren ist mir zu kompliziert. Ich verstehe ja nicht einmal diesen Teil, dann werde ich mich nicht noch zusätzlich mit einer Programmiersprache verwirren.

Ich bin auch dafür offen, dass deine Lösung stimmt. Mir kommt ja selbst der Rechenweg aus meiner Fragestellung komisch vor. Ich beschäftige mich schon längere Zeit mit dieser Aufgabe und habe mittlerweile schon einen Knoten im Kopf deshalb.

Deshalb bin ich für jede Erleuchtung dankbar.

DrBoogie aktiv_icon

15:08 Uhr, 14.09.2017

"Ich habe die Lösung und den Rechenweg von meinem Mathelehrer. Entschuldige, dass ich deshalb deine Lösung infrage stelle."

Na, wenn es vom Mathelehrer kommt. :-)
Ich bin ein promovierter Mathematiker, gegen einen Mathelehrer muss ich wohl passen. :-))

Aber ich will nicht behaupten, dass meine Lösung richtig ist, das musst Du schon selber entscheiden. Ich habe aber den Verdacht, dass Dein Mathelehrer was Anderes gelöst hat.

Die Logik ist ziemlich einfach: man wählt eine von

10

Ziffern, die doppelt vorkommen soll, dann

(\binom{4}{2})

Stellen, an welchen sie stehen muss, und dann bleiben für die anderen zwei Stellen noch

9 \cdot 8

Varianten,

9

für eine Ziffer und noch

8

für die andere, weil die vorherige nicht doppelt vorkommen darf. Daher ist das Ergebnis

10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot (\binom{4}{2})

.

Zum Vergleich, wenn nur die Ziffern

0, 1, 2

zugelassen wären, würde nach derselben Logik die Zahl

3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (\binom{4}{2}) = 36

Varianten rauskommen. Man kann leicht verifizieren, dass es wirklich genau

36

mit "doppelten Ziffern" gibt:

0012

0021

0102

0201

0120

0210

1020

2010

1200

2100

1002

2001

1102

1120

1012

1210

1021

1201

0121

2101

0211

2011

0112

2110

2201

2210

2021

2120

2012

2102

0212

1202

0122

1022

0221

1220

RickR aktiv_icon

15:26 Uhr, 14.09.2017

Hallo DrBoogie,

als promovierter Mathematiker musst du dich doch nicht zwangsläufig hinter einem Mathelehrer verstecken. Zumal es in deinem Studium wahrscheinlich mehr in mathematische Tiefen ging, als bei einem Lehrer, der Mathematik auf einem eher "Allgemeinbildungsstandard" kinder-/jugendgerecht vermitteln soll.

Deine letzte Erklärung leuchtet mir absolut ein und ich kann sie auf Anhieb nachvollziehen! Daher erscheint sie mir richtig.

Übrigens bin ich nicht ganz ein Idiot in Python, zumindest ein bisschen weiß ich. Also habe ich interessehalber mal schnell deinen Code eingefügt und bin mit ein paar kleinen Indentations- und Zeichenänderungen auch auf

0,432

gekommen!

Zwar muss ich mir den Code noch mal genau durch den Kopf gehen lassen, doch deine Hilfe war mehr als umfangreich und erleuchtend, echt super! Vielen Dank!!

Gerd30.1 aktiv_icon

18:39 Uhr, 14.09.2017

Die Wahrscheinlichkeit für die mögliche Kombination (a,a, a', a') ist 1/10*1/10*9/10*9/10=0,0081
Da es (4 über 2)=6 Kombinationen gibt ist P=6*0,0081=0,0486

RickR aktiv_icon

19:11 Uhr, 14.09.2017

Hallo Gerd30.1,

danke für deine Ergänzung. Sie scheint auch Sinn zu machen.

2 \cdot \frac{1}{10}

für 2mal die gleiche Zahl,
das mit 2 multipliziert mit den 9 übrigen Zahlen, also

2 \cdot \frac{9}{10},

das multipliziert mit den 6 Möglichkeiten.

Dieser Fall muss dann für die Aufgabe irgendwie ausgeschlossen werden.

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