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PBZ Koeffizientenvergleich umgehen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Partialbruchzerlegung

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15:18 Uhr, 21.06.2014

Tachhen die Damen und Herren,
sitze hier vor einer, so scheint mir doch nicht allzu schweren Aufgabe, die jedoch nen kleinen Hacken hat...oder auch nicht...^^

\int \frac{1}{x^{4} + x^{2}} d x

Soweit habe ich die Funktion in Partialbrüche zerlegt...

\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}

...habe auch A bestimmt indem ich die Nullstelle von

x^{2}

eingesetzt habe

A = 1

und habe nun nicht wirklich lust mit dem Koeffizientenvergleich weiter zu machen da mir das echt zu viel schreibkram ist^^

Sieht einer von euch einen weniger aufwendigen Weg die Koeffizienten zu bestimmen und würdet Ihr mir diesen Trick verraten, wenn es ihn denn gibt?

die Lösung wäre dann

A = 1, D = - 1

der Rest fliegt raus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Loewe1

16:02 Uhr, 21.06.2014

Hallo,

mit folgendem Trick geht es auch ohne PBZ:

Addiere den Zähler mit

x^{2} + 1 - x^{2} - 1

\int \frac{1}{(x^{2} + 1) \cdot x^{2}} d x

= \int \frac{1 + x^{2} + 1 - x^{2} - 1}{(x^{2} + 1) \cdot x^{2}} d x

= \int (\frac{x^{2} + 1}{(x^{2} + 1) \cdot x^{2}} d x + \int \frac{- x^{2}}{(x^{2} + 1) \cdot x^{2}} d x

= \int \frac{1}{x^{2}} d x - \int (\frac{1}{x^{2} + 1}) d x

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16:12 Uhr, 21.06.2014

Danke Loewe!!!!! :-D)

Loewe1

16:14 Uhr, 21.06.2014

gern doch

Sei so gut , setze bitte einen Haken, wenn die Aufgabe für Dich erledigt ist, andernfalls
helfe ich gern weiter.

:-)

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16:17 Uhr, 21.06.2014

Ja da hab ich tatsächlich noch nicht das Wissen das ich gerne hätte^^
...wenn ich nun wirklich über den Weg der PBZ gehen würde hätte ich da ne Chance den lästigen Koeffizientenvergleich zu umgehen oder nicht??

Loewe1

17:58 Uhr, 21.06.2014

nein , das geht hier nicht.

Aber der Koeffizientenvergleich ist doch auch nicht so sonderlich schlimm:

1 = x^{3} (C + B) + x^{2} (A + D) + B \cdot x + A

x^{3} : 0 = C + B

x^{2} : 0 = A + D

x^{1} : 0 = B

x^{0} : 1 = A

:-)

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18:37 Uhr, 21.06.2014

hmm... Ich habe mir Überlegt ob man da nicht eine Beziehung bei der Doppelten NS zwischen

A

und

B

aufbauen kann und ggf daraus eine allgemeinen Formel herleiten... ich hab mir da mal was zusammen gebastelt gehabt nur habe ich diese Unterlagen nicht mehr, jedoch weiß ich auch nicht in wie weit meine Überlegung damals richtig war oder auch nicht^^ im Moment komme ich einfach nicht mehr drauf :'(
Zudem glaube ich, dass sich über die komplexe Rechnung die Koeffizienten auch bestimmen lassen müssten denn,

p q

sagt mir ja in diesem Fall

0 \pm \sqrt{-} 1

und

\sqrt{-} 1 = i

... wenn ich nun

i

einsetze...

\frac{1}{i^{2}}

erhalte ich

1 ∠ 180

und das ist doch einfach

- 1

...oder nicht?^^ hab da aber auch genügend Bedenken ob das nicht einfach nur ein Glücksfall ist und ob man das so einfach ohne weiteres machen kann... bitte um Aufklärung^^

Loewe1

18:56 Uhr, 21.06.2014

Hallo,

ja das geht über die komplexe Rechnung, ist aber aufwendiger als der Koeffizientenvergleich:

A = 1

ist ja bekannt , durch einsetzen von

x = 0

x = i : 1 = - C \cdot i - D

x = - i : 1 = C \cdot i - D

- - \to D = - 1

Jetzt hast Du aber noch nicht

B

und

C

Wenn Du nun 2 beliebige Werte für

x

nimmst

, z . B

. 1 und 2 hast Du ein
lineares Gleichungssystem von 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.

So geht es auch, aber in der Praxis wird das selten getan.

x = 1 : 1 = 2 A + 2 B + C + D

x = 2 : 1 = 5 A + 10 B + 8 C + 4 D

- - - - - - \to B = C = 0

:-)

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19:16 Uhr, 21.06.2014

Hab vielen Dank Loewe!! werde mich bei weitern Aufgaben dieses Typs an deine Worte erinnern ;-)

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19:28 Uhr, 21.06.2014

x = i : 1 = - C \cdot i - D

x = - i : 1 = C \cdot i - D

- - \to D = - 1

...
so ganz dahinter steige ich doch nicht ^^ woher nimmst du denn jetzt die

1

und wie genau sieht der Rechenschritt aus den du machst um auf

D = - 1

zu kommen... hab das auf diese Weise noch nie gemacht kenne leider nur den Koeffizientenvergleich^^

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19:28 Uhr, 21.06.2014

x = i : 1 = - C \cdot i - D

x = - i : 1 = C \cdot i - D

- - \to D = - 1

...
so ganz dahinter steige ich doch nicht ^^ woher nimmst du denn jetzt die

1

und wie genau sieht der Rechenschritt aus den du machst um auf

D = - 1

zu kommen... hab das auf diese Weise noch nie gemacht kenne leider nur den Koeffizientenvergleich^^

Loewe1

00:41 Uhr, 22.06.2014

Hallo,

1.)woher nimmst du denn jetzt die 1?

Du hast ja selbst erhalten:

\int (\frac{1}{x^{2} (x^{2} + 1)}) d x = \frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}

Multipliziere jetzt beide Seiten mit dem Hauptnenner und Du erhälst die 1.

1 = A (x^{2} + 1) + B \cdot x (x^{2} + 1) + (C \cdot x + D) \cdot x^{2}

2.)wie genau sieht der Rechenschritt aus den du machst um auf D=−1 zu kommen...

also

x^{2} + 1 = 0

(Nenner)

x^{2} = - 1

x = \pm i

also , daraus folgt die Berechnung für:

x = i :

1 = (C \cdot i + D) \cdot (- 1)

1 = - C \cdot i - D

x = - i :

1 = (- C \cdot i + D) \cdot (- 1)

1 = C \cdot i - D

jetzt erhälst Du:

1 = - C \cdot i - D

1 = C \cdot i - D

addierst Du beide Gleichungen folgt :

2 = - 2 D

−−→D=−1

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11:58 Uhr, 22.06.2014

Mensch Loewe...^^
ja das war alles sehr hilfreich, leider hab ich trotzdem kein schimmer ob man eine allgemeine Formel herleiten kann oder nicht um auf die Beziehung der doppelten NS zurück zu kommen, außerdem ist das Thema ja noch nicht abgeschlossen...

da steht ja bei mir wenn man das bisschen umschreibt...

\frac{A}{(x + 0)^{2}} + \frac{B}{x + 0}

A = 1

da muss man doch nen Zusammenhang herstellen können ... hab hier mal ne weitere Aufgabe...

\int \frac{- 3 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x + 7}{(x - 1)^{2} (x^{2} + 4)} d x

hab soweit meine Partialbrüche aufgestellt...

\frac{A}{(x - 1)^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}

jetzt hab ich wieder die NS eingesetzt und für

A = 2

erhalten und hier wird der Koeffizientenvergleich kein Zuckerschlecken mehr^^ da muss es einfach einen Weg geben und den gibt es auch, da bin ich mir sicher (Intuition vielleicht^^) eine allgemeine kleine Formel herzuleiten... zudem hab ich mir die komplexe NS nochmal angeschaut hier erhalte ich

2 i

nach

p q

und wenn ich das einsetze sagt mein TR

- 8 i + 3

sprich da ist ja auch schon eine parallele zu erkennen denn das richtige Ergebnis wäre

- 4 i + 3

für

C x + D

ist das wieder nur ein Zufall?...

Loewe1

13:10 Uhr, 22.06.2014

Hallo,

An den Uni's wird das über diesen Koeffizientenvergleich gelöst und auch so vermittelt.

Mit der komplexen Rechnung wird die AUFGABE nicht einfacher.

Ich habe erhalten:

x^{3} : - 3 = B + C

x^{2} : 12 = A - B - 2 C + D

x^{1} : - 6 = 4 B + C - 2 D

x^{0} : 7 = 4 A - 4 B + D

Lösung:

B = 1

A = 2

C = - 4

D = 3

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