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PDG Mittelwerteigenschaft

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

NFFN1 aktiv_icon

17:06 Uhr, 24.01.2023

Guten Tag,

wie löst man folgendes Problem:

Benutze die Mittelwerteigenschaft um folgendes zu zeigen:
u harmonisch in

ℝ^{2}

u (0, 0) = 0

u (x, y) \leq (x^{2} - y^{2}) \forall (x, y) \in ℝ^{2}

, dann ist u ein Polynom.

Ich bin mir nicht ganz sicher wie man die Mittelwerteigenschaft für mehrdimensionale Funktionen benutzt.

MfG,
Noah

Punov aktiv_icon

00:13 Uhr, 25.01.2023

Hallo, NFFN1!

Betrachte die Funktion

v (x, y) := x^{2} - y^{2} + u (x, y)

. Diese ist harmonisch in

ℝ^{2}

, nicht-negativ und erfüllt

v (0, 0) = 0

.

Die Mittelwerteigenschaft besagt

v (x, y) = \frac{1}{∥ B_{r} (x, y) ∥} \int_{B_{r} (x, y)} v (s, t) d (s, t)

für alle

(x, y) \in ℝ^{2}

und

r > 0

. Hierbei bezeichnen

B_{r} (x, y) \subset ℝ^{2}

den Ball um

(x, y) \in ℝ^{2}

mit Radius

r > 0

und

∥ B_{r} (x, y) ∥

dessen Volumen.

Viele Grüße

NFFN1 aktiv_icon

13:04 Uhr, 25.01.2023

Okay dann habe ich ja:

v (x, y) = 1 / c \int_{B_{r} (x, y)} s^{2} - t^{2} d (s, t) + u (x, y)

, mit

c = ∣ ∣ B_{r} (x, y) ∣ ∣

.
Aber wäre es nicht besser

v (x, y) = x^{2} - y^{2} - u (x, y)

zu nehmen und dann zu zeigen, dass

v (x, y) \geq 0

ist?
Ist

d (s, t)

dasselbe wie

d s d t

?

MfG,
Noah

Punov aktiv_icon

13:14 Uhr, 25.01.2023

Hallo,

ja, ich meinte auch

v (x, y) := x^{2} - y^{2} - u (x, t)

.

Dann gilt

v (x, y) \geq 0

und

v (0, 0) = 0

. Die Mittelwerteigenschaft kannst du dann auch schreiben als Doppelintegral mit

d s d t

statt Einzelintegral mit Notation

d (s, t)

, ja.

Also nochmal etwas konkreter:

Du hast für beliebiges

r > 0

0 = v (0, 0) = \frac{1}{∥ B_{r} (0, 0) ∥} \int_{B_{r} (0, 0)} v (s, t) d (s, t)

Was folgt für den Integranden, wenn er nicht-negativ ist und das Integral

0

?

Viele Grüße

NFFN1 aktiv_icon

13:26 Uhr, 25.01.2023

Dann ist

v (s, t) = 0

B_{r} (0, 0) \forall r

also auch in

ℝ^{2}

. Somit gilt

x^{2} - y^{2} = u (x, y)

.
Richtig so?

Punov aktiv_icon

13:34 Uhr, 25.01.2023

Hallo,

streng genommen folgt erstmal, dass

v (x, y) = 0

fast überall. Aber daraus folgt dann wiederum mit der Mittelwerteigenschaft, dass

v (x, y) = 0

auf

ℝ^{2}

.

Viele Grüße

NFFN1 aktiv_icon

13:36 Uhr, 25.01.2023

Okay habs verstanden.
Vielen Dank!

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