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PDG Mittelwerteigenschaft

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

 
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NFFN1

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17:06 Uhr, 24.01.2023

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Guten Tag,

wie löst man folgendes Problem:

Benutze die Mittelwerteigenschaft um folgendes zu zeigen:
u harmonisch in 2, u(0,0)=0, u(x,y)(x2-y2)(x,y)2, dann ist u ein Polynom.

Ich bin mir nicht ganz sicher wie man die Mittelwerteigenschaft für mehrdimensionale Funktionen benutzt.

MfG,
Noah
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Punov

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00:13 Uhr, 25.01.2023

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Hallo, NFFN1!


Betrachte die Funktion v(x,y):=x2-y2+u(x,y). Diese ist harmonisch in 2, nicht-negativ und erfüllt v(0,0)=0.

Die Mittelwerteigenschaft besagt

v(x,y)=1Br(x,y)Br(x,y)v(s,t)d(s,t)

für alle (x,y)2 und r>0. Hierbei bezeichnen Br(x,y)2 den Ball um (x,y)2 mit Radius r>0 und Br(x,y) dessen Volumen.


Viele Grüße
NFFN1

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13:04 Uhr, 25.01.2023

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Okay dann habe ich ja:
v(x,y)=1/cBr(x,y)s2-t2d(s,t)+u(x,y), mit c=Br(x,y).
Aber wäre es nicht besser v(x,y)=x2-y2-u(x,y) zu nehmen und dann zu zeigen, dass v(x,y)0 ist?
Ist d(s,t) dasselbe wie dsdt?

MfG,
Noah
Antwort
Punov

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13:14 Uhr, 25.01.2023

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Hallo,

ja, ich meinte auch v(x,y):=x2-y2-u(x,t).

Dann gilt v(x,y)0 und v(0,0)=0. Die Mittelwerteigenschaft kannst du dann auch schreiben als Doppelintegral mit dsdt statt Einzelintegral mit Notation d(s,t), ja.


Also nochmal etwas konkreter:

Du hast für beliebiges r>0

0=v(0,0)=1Br(0,0)Br(0,0)v(s,t)d(s,t)


Was folgt für den Integranden, wenn er nicht-negativ ist und das Integral 0?


Viele Grüße


NFFN1

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13:26 Uhr, 25.01.2023

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Dann ist v(s,t)=0 in Br(0,0)r also auch in 2. Somit gilt x2-y2=u(x,y).
Richtig so?
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Punov

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13:34 Uhr, 25.01.2023

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Hallo,

streng genommen folgt erstmal, dass v(x,y)=0 fast überall. Aber daraus folgt dann wiederum mit der Mittelwerteigenschaft, dass v(x,y)=0 auf 2.

Viele Grüße
Frage beantwortet
NFFN1

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13:36 Uhr, 25.01.2023

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Okay habs verstanden.
Vielen Dank!