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Guten Tag, wie löst man folgendes Problem: Benutze die Mittelwerteigenschaft um folgendes zu zeigen: u harmonisch in , , , dann ist u ein Polynom. Ich bin mir nicht ganz sicher wie man die Mittelwerteigenschaft für mehrdimensionale Funktionen benutzt. MfG, Noah |
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Hallo, NFFN1! Betrachte die Funktion . Diese ist harmonisch in , nicht-negativ und erfüllt . Die Mittelwerteigenschaft besagt für alle und . Hierbei bezeichnen den Ball um mit Radius und dessen Volumen. Viele Grüße |
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Okay dann habe ich ja: , mit . Aber wäre es nicht besser zu nehmen und dann zu zeigen, dass ist? Ist dasselbe wie ? MfG, Noah |
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Hallo, ja, ich meinte auch . Dann gilt und . Die Mittelwerteigenschaft kannst du dann auch schreiben als Doppelintegral mit statt Einzelintegral mit Notation , ja. Also nochmal etwas konkreter: Du hast für beliebiges Was folgt für den Integranden, wenn er nicht-negativ ist und das Integral ? Viele Grüße |
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Dann ist in also auch in . Somit gilt . Richtig so? |
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Hallo, streng genommen folgt erstmal, dass fast überall. Aber daraus folgt dann wiederum mit der Mittelwerteigenschaft, dass auf . Viele Grüße |
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Okay habs verstanden. Vielen Dank! |