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P^TSP = Diagonalmatrix

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Matrixtransformation, Matrizenrechnung

Lawliet aktiv_icon

13:52 Uhr, 23.05.2018

Hallo,

benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben sei die reelle Matrix

S = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{matrix})

Finden Sie eine invertierbare Matrix

P \in

GL_4

(ℝ)

derart, dass

P^{T} \cdot S \cdot P

eine Diagonalmatrix ist.

Mein Ansatz war, über die Eigenvektoren eine Matrix zu bilden und diese dann zu Transponieren, jedoch hab ich lediglich einen Eigenvektor, somit funktioniert das nicht.

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

14:01 Uhr, 23.05.2018

"jedoch hab ich lediglich einen Eigenvektor"

Stimmt nicht. Es gibt 4 linear unabhängige Eigenvektoren.
Kannst hier nachprüfen:
http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm

Lawliet aktiv_icon

16:03 Uhr, 23.05.2018

Tatsächlich..
Ist mein Ansatz denn richtig, daraus die Matrix

P

zu bilden und diese dann zu transponieren?

Lawliet aktiv_icon

18:58 Uhr, 23.05.2018

Scheinbar nicht, habs versucht.
Dann bin ich leider wieder überfragt

ermanus aktiv_icon

21:28 Uhr, 24.05.2018

Hallo,
wir benötigen die Eigenwerte und Eigenvektoren nicht, um ein solches

P

zu finden.
Wir führen elementare Zeilenumformungen und nach jeder Zeilenumformung
die analoge Spaltenumformung durch:

Zeilenoperation

(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{array}) \to [Z_{3} - Z_{1} \to Z_{3}] \to (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{array})

analoge Spaltenoperation

(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{array}) \to [S_{3} - S_{1} \to S_{3}] \to (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{array})

Zeilenoperation

(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{array}) \to [Z_{3} - Z_{2} \to Z_{3}] \to (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{array})

analoge Spaltenoperation

(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{array}) \to [S_{3} - S_{2} \to S_{3}] \to (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \\ 0 & 2 & - 2 & 2 \end{array})

Zeilenoperation

(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \\ 0 & 2 & - 2 & 2 \end{array}) \to [Z_{4} - 2 Z_{2} \to Z_{4}] \to (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \end{array})

analoge Spaltenoperation

(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \end{array}) \to [S_{4} - 2 S_{2} \to S_{4}] \to (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \end{array})

, usw.

Die erste Spaltenoperation ist

P_{1} = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

,

die zweite

P_{2} = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

, usw.

Schließlich ist

P = P_{1} \cdot P_{2} \cdot \dots

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

15:55 Uhr, 26.05.2018

Hallo,

eine freundliche Rückmeldung wäre bei dem Aufwand
doch eigentlich angesagt, oder?

Lawliet aktiv_icon

16:03 Uhr, 26.05.2018

Natürlich ich weiß, dass das nicht selbstverständlich, deswegen vielen vielen Dank!
Ich war die letzten Tage mit was anderem beschäftigt, tut mir leid!

ermanus aktiv_icon

16:05 Uhr, 26.05.2018

Alles klar :-)

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