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Paare unabhängiger Ereignisse im Laplace-Raum

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: stochastische Unabhängigkeit

anonymous

22:27 Uhr, 18.05.2022

Guten Abend an alle,

Ich stehe bei der im Bild gestellten Frage gerade komplet auf dem Schlauch. Ich weiß, dass eine Wahrscheinlichkeit im Laplace-Raum die Form

P (A) = \frac{| A |}{| Ω |}

hat und das die stochastische Unabhängigkeit die Form

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

hat.

Wie bringe ich diese nun in Verbindung um herauszufinden wie viele dieser Paare die Bedingung erfüllen?

Danke an alle Antworten!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stochastische Unabhängigkeit

DrBoogie aktiv_icon

09:30 Uhr, 19.05.2022

Nun, z.B. wenn

P (A) = 1 / 8

und

P (B) = 3 / 8

, dann können sie nicht unabhängig sein, denn es gibt kein Ereignis mit

P = 3 / 64

.
Andererseits wenn

P (A) = 1 / 2

P (B) = 1 / 4

, dann können sie unabhängig sein, z.B.

A = {1, 2, 3, 4}

und

B = {4, 5}

.
Weiter muss man mehr oder weniger mühsam zählen.

HAL9000

09:49 Uhr, 19.05.2022

Das bedeutet z.B. in einem Laplaceraum, dessen Größe

∣ Ω ∣

eine Primzahl ist, dass zwei Ereignisse

A, B

dort allenfalls dann unabhängig sein können, wenn mindestens eins davon trivial ist, d.h.

{}

oder

Ω

. ;-)

> Weiter muss man mehr oder weniger mühsam zählen.

Kombinatorisch richtig angepackt ist es gar nicht so mühsam, zur Kontrolle das Endergebnis: 3640

anonymous

10:54 Uhr, 19.05.2022

Also damit ich das richtig verstehe, ich muss alle möglichen Variationen der Wahrscheinlichkeiten von A und

B

finden, so dass das

| Ω |

im Nenner

\leq 8

ist, wenn ich

P (A) \cdot P (B)

rechne?
Außerdem vielen Dank für die beiden bisherigen Antworten!

HAL9000

10:59 Uhr, 19.05.2022

Nicht ganz: Für die möglichen Wahrscheinlichkeitspaare

(P (A), P (B))

gibt es hier nur zwei Varianten, aber zu jedem solchen Wertepaar gibt es mehrere Ereignispaare

(A, B)

, und letztere Anzahl ist hier gesucht, nicht erstere.

Ich versuche das mal am Beispiel von DrBoogie klar zu machen, allerdings wegen des geforderten

P (A) \leq P (B)

mit vertauschten Rollen:

A = {4, 5}

und

B = {1, 2, 3, 4}

ergibt

A \cap B = {4}

und damit

P (A) \cdot P (B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = P (A \cap B)

, d.h. die geforderte Unabhängigkeit. Hier haben wir das Wahrscheinlichkeitspaar

(P (A), P (B)) = (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})

.

Dasselbe Wahrscheinlichkeitspaar bekommt man aber auch für

A = {4, 7}

und

B = {1, 3, 7, 8}

und viele weitere Paare

(A, B)

- jetzt klar?

anonymous

11:16 Uhr, 19.05.2022

Danke, ich glaube ich hab's jetzt mehr oder weniger verstanden. Ich setze mich mal dran und versuche das zu lösen.

anonymous

13:41 Uhr, 19.05.2022

Also ich persönlich komme auf

4760

Paare und nicht

3640

. Entweder hab ich einen Fall zu viel oder du hast einen Fall zu wenig betrachtet.
Meine Fälle sind wie folgt:

1.

| A | = 2, | B | = 4 \Rightarrow 1120

Paare
2.

| A | = 4, | B | = 4 \Rightarrow 2520

Paare
3.

| A | = 4, | B | = 6 \Rightarrow 1120

Paare

\Rightarrow 1120 + 2520 + 1120 = 4760

HAL9000

16:33 Uhr, 19.05.2022

Jetzt hast du mich erwischt, Fall 3 hatte ich oben vergessen. ;-)

Aber ist korrekt,

∣ A ∣ = 4, ∣ B ∣ = 6, ∣ A \cap B ∣ = 3

ist ebenfalls möglich, und deine Anzahlen in allen drei Fällen sind korrekt.

anonymous

17:53 Uhr, 19.05.2022

Dann einmal vielen Dank für deine und DrBoggies Hilfe. Eure Veranschaulichung hat mir echt geholfen!

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