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Parabel
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 19:21 Uhr, 14.04.2004  |
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warum ändert sich das Vorzeichen des x Wertes wenn mann den scheitelpunkt einerParabel aus der Scheitelform entnimmt? |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff) Parabel (Mathematischer Grundbegriff) Quadratische Ergänzung | |
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Hallo Sabine, du meinst damit wohl: > warum ändert sich das Vorzeichen des x Wertes wenn mann den scheitelpunkt einer Parabel aus der Scheitelform >entnimmt? warum, wenn man z. B. eine Parabel der Form (I) f(x)=(x+a)² hat, warum der Scheitelpunkt dann als x-Koordinate -a hat. Das Vorzeichen verändert sich im Prinzip deshalb, weil, wenn du dann für x den Wert -a einsetzt, also f(-a) berechnest, dann erhältst du in (I): f(-a)=(-a+a)²=0²=0 und eine (an der x-Achse verschobene) Normalparabel hat den Minimalwert 0. Analoges kannst du dir überlegen, wenn die Parabel (zusätzlich) nach oben (unten) verschoben wurde... Definierst du dann z.B. x':=-a+x, so gilt dann: f(x')=(x'+a)²=(-a+x+a)²=x², woraus man erkennt, dass f nur eine verschobene Normalparabel ist. Genügt dir das als Erklärung? Oder soll ich es lieber anhand konkreter Beispiele erklären? Vielleicht ganz ausfürlich: Sei (für c ungleich 0) f eine Parabel der Form: (II) f(x)=c(x+a)²+b und wir suchen den Scheitelpunkt (wir bezeichnen diesen mit (x_S,y_S)) von f. Dazu bemerken wir: Der Scheitelpunkt von f ist gleichzeitig das Extremum von f (über IR). 1. Fall: c > 0. Dann ist f eine nach oben geöffnete Parabel. Weil (x+a)² >=0 ist x_S die Koordinate des Scheitelpunktes von f genau dann, wenn c(x_S+a)²+b minimal ist (gemeint ist damit: für alle x aus IR gilt: c(x_S +a)²+b<=c(x+a)²+b). b ist eine Konstante, also gilt dies genau dann, wenn c(x_S+a)² minimal ist. Für x_S:=-a ist das der Fall (wegen c > 0), weil c(-a+a)²=c*0=0 und weil für alle x aus IR gilt: c(x+a)² >=0 (für c > 0). Damit ergibt sich y_S=f(x_S)=f(-a)=b , also erhält man den Scheitelpunkt: (x_S,y_S), also (-a,b). 2. Fall: c < 0. Dann ist f eine nach unten geöffnete Parabel. Weil (x+a)² >=0 ist x_S die Koordinate des Scheitelpunktes von f genau dann, wenn c(x_S+a)²+b maximal ist. b ist eine Konstante, also gilt dies genau dann, wenn c(x_S+a)² maximal ist. Weil c < 0 ist das genau dann der Fall, wenn (x_S+a)² minimal ist (weil (x+a)² >=0 für alle x aus IR). Für x_S:=-a ist das der Fall, weil c(-a+a)²=c*0=0 und weil für alle x aus IR gilt: 0<=(x+a)². Damit ergibt sich y_S=f(x_S)=f(-a)=b , also erhält man den Scheitelpunkt: (x_S,y_S), also (-a,b). Weil eine Parabel der Form (II) genau einen Scheitelpunkt hat, ist der Scheitelpunkt von f (aus (II)): (-a,b). Viele Grüße Marcel |
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Das passt jetzt nicht zum Thema, aber trotzdem: @MarcelHu Wir wollen auch mal etwas beantworten. :D Du bist immer so schnell *g* . Soll kein Vorwurf sein, ist ja super, wenn der User schnelle und gute Antwort bekommt. :) |
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