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Parabel & Maßstab
Schüler Fachschulen, 8. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 16:43 Uhr, 13.12.2003  |
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Ich habe eine tolle Aufgabe zu lösen, weiß nur nicht wie... Wir haben die Parabel y=4x^2+3x-7 und sollen die mit unserer Schablone für die Normalparabel (y=x^2) zeichnen. Als Tipp wurde gesagt, wir sollen den Maßstab der x- und y-Achse verändern. Nur Wie? Danke Erik |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff) Parabel (Mathematischer Grundbegriff) Quadratische Ergänzung | |
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Hallo, es gilt: y=4x^2+3x-7 <=> y+7=4(x^2+(3/4)) <=> y+7=[4(x+(3/8))^2] - 4*(9/64) <=> y+7=[4(x+(3/8))^2] - (9/16) <=> y+(121/16)=4(x+(3/8))^2 Damit kannst du den Scheitelpunkt ablesen: (-3/8,-121/16). Wenn du nun in deinem Koordinatensystem bei der y-Achse für 1cm den Wert 4 inträgst, die Einheit bei der x-Achse allerdings so lässt, also x-Achse: 1cm <-> 1 y-Achse: 1cm <-> 4, so kannst du die Parabel mit der Schablone zeichnen. Es genügt also, den Massstab der y-Achse zu verändern (vielleicht war der Tip aber auch, dass man den Massstab der x-, oder y-Achse verändern soll. Das ist ein "logischer Unterschied". Warum ihr beide verändern sollt, sehe ich nicht ganz ein. Eine Alternative gibt es allerdings: y-Achse: 1cm <-> 1 x-Achse: 2 cm <-> 1 (beachte: durch das Quadrieren werden die cm vervierfacht, weil 2^2=4). Begründung: Wir wollen y=x^2 erhalten, wobei y und x jeweils 1cm als Einheit haben. Damit wollen wir aber eine Parabel der Art: y=4x^2 konstruieren. Es gilt also zunächst: y=4x^2 (*). Für die neuen Einheiten Ey der y-Achse und Ex der x-Achse soll dann doch gelten: y *Ey=(x*Ex)^2 Setze Ey:=1 (entspr. 1cm): => y=x^2 *(Ex)^2 und vgl. mit (*) liefert: (Ex)^2=4, also Ex=2. Nach 2 cm trägst du erst den x-Wert 1 ein. Für deine Schablone gilt jedoch (für x=2cm; 2cm ist "die neue 1", also die 1 einer anderen Einheit): y=2^2 cm=4cm, also steht dann entsprechend auf der y-Achse der Wert 4. Und noch etwas: Wenn du dir die Umformungen anguckst und insbesondere das Ergebnis: y+(121/16)=4(x+(3/8))^2 so kann man folgendes tun: Ich definiere: y`:=y+(121/16) x`:=(x+(3/8))^2 Dann folgt: y`=4(x`)^2 Daran erkennst du, dass das eigentlich nur eine "verschobene gestreckte Normalparabel" ist. Tut mir leid, aber mir fällt es leider etwas schwer, die Aufgabe so zu notieren, dass man sie logisch nachvollziehen kann. Ich hoffe, du erkennst dennoch, was ich meine... ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------- Es gibt noch mehr Möglichkeiten: Wenn du bei der x-Achse z.B. erst nach für 4cm die 1 einträgst (also 4cm entspricht der 1), und auf der y-Achse dann auch für 4cm die 1 einträgst, so erhältst du deine Lösung auch mit der Schablone. Vielleicht ist das auch als Lösung gemeint... Zeichnung: Zeichne ein Koordinatensystem, auf der x-Achse trägst du nach 4cm den Wert 1 ein, bei der y-Achse auch nach 4 cm den Wert 1. In diesem Koordinatensystem suchst du den Punkt: (-3/8,-121/16) [Mit Lineal: (-3/8,-121/16) wäre in cm: 1,5cm links von (0,0) und dann 121/4=30,25 cm unterhalb der 1,5cm links von 0] Dort setzt du nun deine Parabelschablone nach oben geöffnet an und zeichnest die Parabel. So macht es wenigstens bei der Aufgabe einen Sinn, dass man x- und y-Achseneinheiten verändern soll. Man hätte ja wenigstens sagen können, dass man beide "in gleichem Maße" verändern soll... Das nachzurechnen könnte man dann formal so: Sei E die neue Einheit, E>0. Dann fordern wir: (**): (y E)=(x*E)² Ebenso soll gelten: (***): y=4x². Wir setzen (***) in (**) ein: 4x²E=(xE)² <=> E=4. Also muss bei dem neuen Ko-System bei 4cm die 1 eingtragen werden. Mir gefällt das formal zwar immer noch nicht wirklich, aber ich sehe nicht, wie man das verständlicher formulieren könnte. Ich denke aber, dass die Aufgabe so gelöst werden soll, wie ich es zuletzt getan habe, also alles nach den 2 Zeilen mit "-----...". Viele Grüße Marcel |
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anonymous 17:59 Uhr, 15.12.2003 |
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Wow! Das war ein Brocken... Den muss ich erst mal verdauen. Aber: Vielen Dank Marcel, für Deine Hilfe! ;-) |
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Hallo, gern geschehn. Dass die Lösung so lang geworden ist, liegt leider daran, dass die Aufgabenstellung nicht eindeutig formuliert worden ist (von eurem Lehrer). Bis ich mal auf die letzte Idee (nach den 2 Balken "---...") kam, hats gedauert. Wenn man weiß, was denn nun gemeint ist, so denke ich, dass du "nur" alles nach diesen 2 Balken brauchst. Das andere höchstens zum Drüber-Nachdenken... :) Viele Grüße Marcel |
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