Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Parabel und Gerade rechtwinkelig schneiden

Parabel und Gerade rechtwinkelig schneiden

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Geradengleichung, Integralfunktion, Parabelgleichung

Aybak aktiv_icon

16:54 Uhr, 12.06.2021

Gegeben ist die Parabel

y =

ax^2 und die Gerade

y = 5 - x

.
Bestimmen Sie a so, dass sich Gerade und Parabel im ersten Quadranten rechtwinklig schneiden.

Ich brauche eure Hilfe bei der Frage, Das Produkt der beiden Steigungen

m 1 . m 2 = - 1,

das weiß ich aber wie komme ich auf

a

.

vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Geraden im Raum
Integralfunktion

michaL aktiv_icon

16:59 Uhr, 12.06.2021

Hallo,

die Frage sollte (zunächst) sein:
Wie komme ich auf

m_{1}

und

m_{2}

?

Zu

a

kommen wir dann später.

Mfg Michael

Aybak aktiv_icon

17:16 Uhr, 12.06.2021

Naja, die Steigung von der Gerade ist halt

- 1

und von dem Parabel ist durch die erste Ableitung zu bestimmen.

D . h

y' =

2ax, nun muss ich einen Punkt einsetzen, welcher auf dem Parabel steht.

michaL aktiv_icon

17:22 Uhr, 12.06.2021

Hallo,

na, da kommen wir der Sache doch schon näher.

Welchen Punkt kann man denn nehmen, wenn die Aufgabe im wesentlichen Teil
> dass sich Gerade und Parabel im ersten Quadranten rechtwinklig schneiden.
lautet?

Mfg Michael

Aybak aktiv_icon

17:44 Uhr, 12.06.2021

Hallo Michael,

Der Schnittpunkt

= \Rightarrow

ax^2

= 5 - x

\Rightarrow

ax^2+x-5= 0.

| \cdot \frac{1}{a}

x^{2} + \frac{x}{a} - \frac{5}{a} = 0

.
Pq Formel:

x 1 = (- \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{2}) - \sqrt{{(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - (- 5)} = - \frac{1}{2 \cdot a} - \sqrt{\frac{1}{4 a^{2}} + 5} = - \frac{2}{2 a} + \sqrt{5}

x 2 = (- \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{2}) - \sqrt{{(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - (- 5)} = - \frac{1}{2 \cdot a} + \sqrt{\frac{1}{4 a^{2}} + 5} = \sqrt{5}

Mfg, Aybak

michaL aktiv_icon

18:02 Uhr, 12.06.2021

Hallo,

Schnittpunkt ist das Stichwort.
Die Rechnung sieht einigermaßen ok aus, nur das Ende nicht. Die Wurzel kannst du in einer Summe nicht auflösen.

Dann ist zu bedenken, dass es um den ersten Quadranten gehen soll, d.h. es muss

x > 0

gelten. Dadurch bleibt nur eine Lösung übrig.

Die Steigung nimmst du vom Schnittpunkt. Da sie

a

enthält, bekommst du eine Bestimmungsgleichung für

a

.

Viel Erfolg.

Mfg Michael

rundblick aktiv_icon

18:02 Uhr, 12.06.2021

.
hm .. Micheal scheint am Schrock über deine Wurzel-Rechenkünste noch sprachlos zu sein..

nun: ganz zu Beginn hast du doch schon notiert , welchen Anstieg

m_{2}

die Tangente der Parabel
haben wird, wenn sie senkrecht zur gegebenen Geraden mit dem Anstieg

m_{1} = - 1

herumliegt .. also:
welche Steigung hat die Parabel im Schnittpunkt mit der Geraden?

1 .) m_{2} = .

2 .) m_{2} = .

.

also

. .

.

oh sorry M. ist ja doch wieder da..

Aybak aktiv_icon

18:38 Uhr, 12.06.2021

Hallo,

Sorry das war für mich auch überraschend

: (

Der Schnittpunkt

\Rightarrow a x^{2} = 5

−

x

\Rightarrow a x^{2} + x - 5 = 0

| \cdot \frac{1}{a}

\Rightarrow x^{2} + \frac{x}{a}

−

\frac{5}{a} = 0

.
Pq Formel:

x 1 = - ((\frac{1}{a}) \cdot \frac{1}{2}) - \sqrt{(\frac{1}{a}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 5} = - \frac{1}{2 a} - \sqrt{\frac{1}{4 a^{2}} + 5}!!

Die Lösung kann nicht richtig sein.

x 2 = - ((\frac{1}{a}) \cdot \frac{1}{2}) + \sqrt{(\frac{1}{a}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 5} = - \frac{1}{2 a} + \sqrt{\frac{1}{4 a^{2}} + 5}

m 1 = - 1

und

m 2 =

?

weil

m 1 \cdot m 2 = - 1

aslo

(- 1 \cdot m 2 = - 1)

sein sollte, dann

m 2 = 1

Ich komme nicht weiter

: (

es fällt mir geraden nichts ein.

rundblick aktiv_icon

18:53 Uhr, 12.06.2021

.
"Ich komme nicht weiter

: (

es fällt mir geraden

\leftarrow

nichts ein. " :-)

da du Wurzeln nicht magst , hier ein Vorschlag :

löse einfach das folgende Gleichungssystem möglichst geschickt und ohne Wurzeln:

(x

steht hier für den schlicht noch unbekannten x-Wert des Schnittpunktes von Gerade und Parabel)

I.)

\to a x^{2} = 5 - x

II.)

\to 2 a \cdot x = 1

\Rightarrow

zuerst

\to a =

? .. ,
dann

\to x =

?

zur Kontrolle:
Gleichung der gesuchten Parabeltangente

\to y = x - \frac{5}{3}

- - - - - - - - - - - - - -

nebenbei:
"........... dass sich Gerade

y = 5 - x

und Parabel

y = a x^{2} ...

. rechtwinklig schneiden."

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

↑

\to

am Schluss könnte Mann sich noch klarmachen, warum hier
die Info "im ersten Quadranten" sowas von überflüssig ist .. :-)

.

michaL aktiv_icon

18:58 Uhr, 12.06.2021

Hallo,

nur die Lösung

x_{2} = - \frac{1}{2 a} + \sqrt{\frac{1}{4 a^{2}} + 5} = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 20 a^{2}}}{2 a}

ist größer Null (

a > 0

vorausgesetzt).

Die Steigung dort:

m_{x_{2}} = 2 a x_{2} = 2 a \cdot (\frac{- 1 + \sqrt{1 + 20 a^{2}}}{2 a})

soll gleich 1 sein, d.h. es muss

2 a \cdot (\frac{- 1 + \sqrt{1 + 20 a^{2}}}{2 a}) = - 1 + \sqrt{1 + 20 a^{2}} \overset{!}{=} 1

gelten.

Mfg Michael

EDIT:

Nein, die Lösung für die quadratische Gleichung ist immer noch falsch:

x^{2} + \frac{1}{a} x - \frac{5}{a} = 0

\Rightarrow x = - \frac{1}{2 a} + \sqrt{\frac{1}{4 a^{2}} + \frac{5}{a}} = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 20 a}}{2 a}

Vielleicht kommst du von da ab weiter?

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

09:38 Uhr, 13.06.2021

Hallo,
darf ich mich auch noch einmischen?
Man braucht den Schnittpunkt gar nicht.
Wir haben die Gleichung

a x^{2} + x - 5 = 0

.
Diese multiplizieren wir mit

4 a

(2 a x)^{2} + 2 (2 a x) - 20 a = 0

.
Wegen

m_{2} = 2 a x = 1

folgt dann

1^{2} + 2 \cdot 1 = 20 a

...
Gruß ermanus

rundblick aktiv_icon

11:08 Uhr, 13.06.2021

.

"Man braucht den Schnittpunkt gar nicht."

wenn einfach nur

\to a

gesucht ist, dann hast du, ermanus, völlig Recht
und deshalb habe ich beim obigen Gleichungssystem auch notiert ->"zuerst a=..?"
was ja dort fast trivial sofort ermittelt werden kann..und fertig..

Als kleinen Zusatz - damit die Aufgabe nicht zu dürftig ist - hatte ich als Zugabe die
fragliche senkrechte Gerade (Tangente) ergänzt - und dazu braucht Mann dann noch

x

und

S .

. :-)

Aber der Fragesteller hat sich ja wohl leider wegen der unnötigen Schlacht mit den
Wurzeln so überfordert gefühlt, dass er ohne Danksagung einfach abgetaucht ist ?

.

michaL aktiv_icon

11:21 Uhr, 13.06.2021

Hallo,

ja, man "braucht" ihn nicht. Aber: Ihn auszurechnen wäre eine konsequente Vorgehensweise.
Schnittpunkt in Abhängigkeit von

a

-> Steigung in Abhängigkeit von

a

-> Bestimmungsgleichung für

a

Ich finde, Abkürzungen kann man suchen, wenn man so einfache Aufgaben allein zu lösen in der Lage ist. Das schien der OP nicht zu sein. Daher wollte ich keine Abkürzungen anbringen.

Mfg Michael

rundblick aktiv_icon

11:29 Uhr, 13.06.2021

.
"Daher wollte ich keine Abkürzungen anbringen."

? .. wo sind denn bei meinem Vorschlag

(18 : 53

Uhr,

12.06.2021)

"Abkürzungen" angebracht ?

I.) →

a \cdot x^{2} = 5 - x ... ... ... ... ... .

\leftarrow .

. Parabel geschnitten mit Gerade
II.) →

2 a \cdot x = 1 ... ... ... ... ... ... .

\leftarrow .

. Parabelsteigung im Schnittpunkt

II.)

\to x = \frac{1}{2 a} . . \to

einsetzen in I.)

\to a \cdot \frac{1}{4 a^{2}} = 5 - \frac{1}{2 a}

\Rightarrow \frac{1}{4 a} + \frac{1}{2 a} = 5

\Rightarrow a =

?? .. :-)

.

ermanus aktiv_icon

11:33 Uhr, 13.06.2021

Ja, Michael, das kann ich verstehen und du kommst dem
Matheverständnis des Anfragers vielleicht dadurch besonders entgegen.
Konsequent wäre es aber auch gewesen, rein algebraisch zu denken:
Ich habe zwei Gleichungen in

a

und

x

. Wenn ich also

x

eliminiere,
bekomme ich eine Gleichung für das gesuchte

a

michaL aktiv_icon

11:40 Uhr, 13.06.2021

Liebe Kollegen,

versteht es doch bitte nicht als Vorwurf.
Im Gegenteil: Ich versuche, meine tatsächlich eher umständliche Vorgehensweise zu rechtfertigen.
Ich finde beide Varianten schön und bestechend in ihrer jeweiligen Schlichtheit.
Auch ich hätte vermutlich so gerechnet wie rundblick.
Aus didaktischen Gründen habe ich abgewogen, was ich dem OP präsentiere.
Ich finde, er ist dafür allein ziemlich weit gekommen.

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

11:48 Uhr, 13.06.2021

Ich finde es immer sehr interessant, mehrere Zugänge zu
einer Lösung zu erfahren oder zu finden.
Daher: auch von mir keine Kritelei,
sondern eher Freude an vielfältigen Anregungen :-)

Atlantik aktiv_icon

11:55 Uhr, 13.06.2021

y = 5 - x

Nullstelle:

x = 5 \to N (5,0)

Schnitt mit y-Achse:

y = 5 \to C (0,5)

Ich teile nun

\bar{N C} \in 3

gleichlange Stücke.

Gerade durch

A (0 | - 1)

und

N (5,0) \to y = 0,2 x - 1

dazu Parallele durch

D (0 | 1) \to y = 0,2 x + 1

0,2 x + 1 = 5 - x

x = \frac{10}{3} \to y = \frac{5}{3}

Das ist nun der Berührpunkt

B (\frac{10}{3} | \frac{5}{3})

der Tangente an die Parabel

y = a \cdot x^{2}

\frac{5}{3} = a \cdot \frac{100}{9}

a = \frac{3}{20}

f (x) = \frac{3}{20} x^{2}

G r a p h e n :

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1538035

1538012

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?