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Parabel und Gerade rechtwinkelig schneiden

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Geradengleichung, Integralfunktion, Parabelgleichung

 
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Aybak

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16:54 Uhr, 12.06.2021

Antworten
Gegeben ist die Parabel y= ax^2 und die Gerade y=5-x.
Bestimmen Sie a so, dass sich Gerade und Parabel im ersten Quadranten rechtwinklig schneiden.

Ich brauche eure Hilfe bei der Frage, Das Produkt der beiden Steigungen m1.m2=-1, das weiß ich aber wie komme ich auf a.

vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

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16:59 Uhr, 12.06.2021

Antworten
Hallo,

die Frage sollte (zunächst) sein:
Wie komme ich auf m1 und m2?

Zu a kommen wir dann später.

Mfg Michael
Aybak

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17:16 Uhr, 12.06.2021

Antworten
Naja, die Steigung von der Gerade ist halt -1 und von dem Parabel ist durch die erste Ableitung zu bestimmen. D.h. y'= 2ax, nun muss ich einen Punkt einsetzen, welcher auf dem Parabel steht.


Antwort
michaL

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17:22 Uhr, 12.06.2021

Antworten
Hallo,

na, da kommen wir der Sache doch schon näher.

Welchen Punkt kann man denn nehmen, wenn die Aufgabe im wesentlichen Teil
> dass sich Gerade und Parabel im ersten Quadranten rechtwinklig schneiden.
lautet?

Mfg Michael
Aybak

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17:44 Uhr, 12.06.2021

Antworten
Hallo Michael,

Der Schnittpunkt = ax^2 =5-x. ax^2+x-5= 0. |1a
x2+xa-5a=0.
Pq Formel:

x1=(-1a12)-(1a12)2-(-5)=-12a-14a2+5=-22a+5
x2=(-1a12)-(1a12)2-(-5)=-12a+14a2+5=5


Mfg, Aybak
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

18:02 Uhr, 12.06.2021

Antworten
Hallo,

Schnittpunkt ist das Stichwort.
Die Rechnung sieht einigermaßen ok aus, nur das Ende nicht. Die Wurzel kannst du in einer Summe nicht auflösen.

Dann ist zu bedenken, dass es um den ersten Quadranten gehen soll, d.h. es muss x>0 gelten. Dadurch bleibt nur eine Lösung übrig.

Die Steigung nimmst du vom Schnittpunkt. Da sie a enthält, bekommst du eine Bestimmungsgleichung für a.

Viel Erfolg.

Mfg Michael
Antwort
rundblick

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18:02 Uhr, 12.06.2021

Antworten
.
hm .. Micheal scheint am Schrock über deine Wurzel-Rechenkünste noch sprachlos zu sein..


nun: ganz zu Beginn hast du doch schon notiert , welchen Anstieg m2 die Tangente der Parabel
haben wird, wenn sie senkrecht zur gegebenen Geraden mit dem Anstieg m1=-1 herumliegt .. also:
welche Steigung hat die Parabel im Schnittpunkt mit der Geraden?
1.)m2=..
2.)m2=..

also ...

oh sorry M. ist ja doch wieder da..
Aybak

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18:38 Uhr, 12.06.2021

Antworten
Hallo,

Sorry das war für mich auch überraschend :(
Der Schnittpunkt ax2=5x. ax2+x-5=0. |1a
x2+xa5a=0.
Pq Formel:

x1=-((1a)12)-(1a)(12)2+5=-12a-14a2+5!! Die Lösung kann nicht richtig sein.

x2=-((1a)12)+(1a)(12)2+5=-12a+14a2+5.


m1=-1 und m2=?

weil m1m2=-1 aslo (-1m2=-1) sein sollte, dann m2=1

Ich komme nicht weiter :( es fällt mir geraden nichts ein.



Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

18:53 Uhr, 12.06.2021

Antworten
.
"Ich komme nicht weiter :( es fällt mir geraden nichts ein. " :-)

da du Wurzeln nicht magst , hier ein Vorschlag :

löse einfach das folgende Gleichungssystem möglichst geschickt und ohne Wurzeln:
(x steht hier für den schlicht noch unbekannten x-Wert des Schnittpunktes von Gerade und Parabel)

I.) ax2=5-x
II.) 2ax=1


zuerst a=? .. ,
dann x=?


zur Kontrolle:
Gleichung der gesuchten Parabeltangente y=x-53


--------------
nebenbei:
"........... dass sich Gerade y=5-x und Parabel y=ax2.... rechtwinklig schneiden."
...............................................................................
am Schluss könnte Mann sich noch klarmachen, warum hier
die Info "im ersten Quadranten" sowas von überflüssig ist .. :-)

.
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

18:58 Uhr, 12.06.2021

Antworten
Hallo,

nur die Lösung x2=-12a+14a2+5=-1+1+20a22a ist größer Null (a>0 vorausgesetzt).

Die Steigung dort: mx2=2ax2=2a(-1+1+20a22a) soll gleich 1 sein, d.h. es muss 2a(-1+1+20a22a)=-1+1+20a2=!1 gelten.

Mfg Michael

EDIT:

Nein, die Lösung für die quadratische Gleichung ist immer noch falsch:

x2+1ax-5a=0
x=-12a+14a2+5a=-1+1+20a2a

Vielleicht kommst du von da ab weiter?

Mfg Michael
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:38 Uhr, 13.06.2021

Antworten
Hallo,
darf ich mich auch noch einmischen?
Man braucht den Schnittpunkt gar nicht.
Wir haben die Gleichung
ax2+x-5=0.
Diese multiplizieren wir mit 4a:
(2ax)2+2(2ax)-20a=0.
Wegen m2=2ax=1 folgt dann
12+21=20a ...
Gruß ermanus
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

11:08 Uhr, 13.06.2021

Antworten
.

"Man braucht den Schnittpunkt gar nicht."

wenn einfach nur a gesucht ist, dann hast du, ermanus, völlig Recht
und deshalb habe ich beim obigen Gleichungssystem auch notiert ->"zuerst a=..?"
was ja dort fast trivial sofort ermittelt werden kann..und fertig..

Als kleinen Zusatz - damit die Aufgabe nicht zu dürftig ist - hatte ich als Zugabe die
fragliche senkrechte Gerade (Tangente) ergänzt - und dazu braucht Mann dann noch x und S.. :-)

Aber der Fragesteller hat sich ja wohl leider wegen der unnötigen Schlacht mit den
Wurzeln so überfordert gefühlt, dass er ohne Danksagung einfach abgetaucht ist ?

.
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

11:21 Uhr, 13.06.2021

Antworten
Hallo,

ja, man "braucht" ihn nicht. Aber: Ihn auszurechnen wäre eine konsequente Vorgehensweise.
Schnittpunkt in Abhängigkeit von a -> Steigung in Abhängigkeit von a -> Bestimmungsgleichung für a

Ich finde, Abkürzungen kann man suchen, wenn man so einfache Aufgaben allein zu lösen in der Lage ist. Das schien der OP nicht zu sein. Daher wollte ich keine Abkürzungen anbringen.

Mfg Michael
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

11:29 Uhr, 13.06.2021

Antworten
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"Daher wollte ich keine Abkürzungen anbringen."

? .. wo sind denn bei meinem Vorschlag (18:53 Uhr, 12.06.2021) "Abkürzungen" angebracht ?



I.) → ax2=5-x................. .. Parabel geschnitten mit Gerade
II.) → 2ax=1.................... .. Parabelsteigung im Schnittpunkt


II.) x=12a.. einsetzen in I.) a14a2=5-12a

14a+12a=5

a= ?? .. :-)

.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

11:33 Uhr, 13.06.2021

Antworten
Ja, Michael, das kann ich verstehen und du kommst dem
Matheverständnis des Anfragers vielleicht dadurch besonders entgegen.
Konsequent wäre es aber auch gewesen, rein algebraisch zu denken:
Ich habe zwei Gleichungen in a und x. Wenn ich also x eliminiere,
bekomme ich eine Gleichung für das gesuchte a.
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

11:40 Uhr, 13.06.2021

Antworten
Liebe Kollegen,

versteht es doch bitte nicht als Vorwurf.
Im Gegenteil: Ich versuche, meine tatsächlich eher umständliche Vorgehensweise zu rechtfertigen.
Ich finde beide Varianten schön und bestechend in ihrer jeweiligen Schlichtheit.
Auch ich hätte vermutlich so gerechnet wie rundblick.
Aus didaktischen Gründen habe ich abgewogen, was ich dem OP präsentiere.
Ich finde, er ist dafür allein ziemlich weit gekommen.

Mfg Michael
Antwort
ermanus

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11:48 Uhr, 13.06.2021

Antworten
Ich finde es immer sehr interessant, mehrere Zugänge zu
einer Lösung zu erfahren oder zu finden.
Daher: auch von mir keine Kritelei,
sondern eher Freude an vielfältigen Anregungen :-)
Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

11:55 Uhr, 13.06.2021

Antworten
y=5-x

Nullstelle: x=5N(5,0)

Schnitt mit y-Achse: y=5C(0,5)

Ich teile nun NC¯3 gleichlange Stücke.

Gerade durch A(0|-1) und N(5,0)y=0,2x-1

dazu Parallele durch D(0|1)y=0,2x+1

0,2x+1=5-x

x=103y=53

Das ist nun der Berührpunkt B(103|53) der Tangente an die Parabel y=ax2

53=a1009

a=320

f(x)=320x2

Graphen:



Unbenannt
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