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Parabelfunktion aus Scheitelpunkt und Tangente

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

bjoern577 aktiv_icon

19:32 Uhr, 05.11.2018

Hallo,
ich bin mittlerweile am verzweifeln, ich weiß einfach nicht wie man diese aufgabe lösen soll, sie wurde uns als hausaufgabe gegeben:

Geben Sie die Gleichung der Parabel mit Scheitelpunkt $S = (0,10)$ an, welche die durch $y = 2 x + 1$
gegebene Gerade genau einmal schneidet. Geben Sie den Schnittpunkt an.

Wie soll man die Gleichung einer parabel nur mit scheitelpunkt und einer tangente bestimmen?

brauche dringend hilfe!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Respon

19:36 Uhr, 05.11.2018

Verwende die Scheitelform der Parabel.

bjoern577 aktiv_icon

19:41 Uhr, 05.11.2018

Das habe ich schon versucht dann bekomme ich die Funktion $a \cdot x^{2} + 10$ aber ich weiß nicht wie ich das a ausrechnen soll

Respon

19:45 Uhr, 05.11.2018

$y = a \cdot x^{2} + 10$
Und die Parabel hat mit der Geraden $y = 2 \cdot x + 1$ genau einen Schnittpunkt.

bjoern577 aktiv_icon

19:48 Uhr, 05.11.2018

Also muss ich hier das a gar nicht bestimmen sondern die lösung mit 2 variablen ausrechnen oder wie?

Respon

19:52 Uhr, 05.11.2018

$z . B$ . so
$y = a \cdot x^{2} + 10$
$y = 2 \cdot x + 1$
Schnittpunkt
$a \cdot x^{2} + 10 = 2 \cdot x + 1$
$x^{2} - \frac{2}{a} \cdot x + \frac{9}{a} = 0$
$\Rightarrow$
$x_{1,2} = \frac{1}{a} \pm \sqrt{\frac{1}{a^{2}} - \frac{9}{a}}$
Da es nur eine Schnittpunkt gibt $\Rightarrow \frac{1}{a^{2}} - \frac{9}{a} = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{9}$

bjoern577 aktiv_icon

19:57 Uhr, 05.11.2018

bis zur PQ formel versteh ich es, aber warum nimmt man dann nur das was unter der wurzel steht als schnittpunkt?

Respon

20:01 Uhr, 05.11.2018

Nein, so ist es nicht.
Eine Gerade hat mit einer Parabel entweder keinen Schnittpunkt, genau einen Schnittpunkt oder zwei Schnittpunkte.
Den Ausdruck unter der Wurzel nennt man Diskriminante, hier also $\frac{1}{a^{2}} - \frac{9}{a}$ .

Kein Schnittpunkt : Diskriminante ist $< 0$
Genau einen Schnittpunkt ( Berührpunkt $) :$ Diskriminante $= 0$
Zwei Schnittpunkte : Diskriminante $> 0$

$\Rightarrow$
$\frac{1}{a^{2}} - \frac{9}{a} = 0 \Rightarrow a = . .$ .

Atlantik aktiv_icon

20:02 Uhr, 05.11.2018

$f_{a} (x) = a \cdot x^{2} + 10$

$g (x) = 2 x + 1$

$a \cdot x^{2} + 10 = 2 x + 1$

$a \cdot x^{2} - 2 x = - 9$

$x^{2} - \frac{2}{a} \cdot x = - \frac{9}{a} | + {(\frac{\frac{- 2}{a}}{2})}^{2} = \frac{1}{a^{2}}$

$x^{2} - \frac{2}{a} \cdot x + \frac{1}{a^{2}} = - \frac{9}{a} + \frac{1}{a^{2}}$

${(x - \frac{1}{a})}^{2} = - \frac{9}{a} + \frac{1}{a^{2}}$

$x_{1,2} = \frac{1}{a} \pm \sqrt{- \frac{9}{a} + \frac{1}{a^{2}}}$

Nun die Wurzel $= 0$ setzen, weil $g (x)$ Tangente an die Parabel.

(Aber bitte vorher meinen Weg nachrechnen, ich habe schnell geschrieben.)

mfG

Atlantik

bjoern577 aktiv_icon

20:03 Uhr, 05.11.2018

ok, das wusste ich nicht, wurde in der vorlesung auch noch nie erwähnt... vielen dank für ihre schnelle hilfe!!

Respon

20:08 Uhr, 05.11.2018

Wurde wahrscheinlich nicht erwähnt, weil es ja Schulstoff ist.
Und den Berührpunkt hast du damit fast auch schon.

$y = \frac{1}{9} \cdot x^{2} + 10$

$x_{1,2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$

$. .$ . und noch die dazugehörige $y -$ Koordinate bestimmen.

bjoern577 aktiv_icon

20:19 Uhr, 05.11.2018

oh, dann sollte ich mir wohl den schulstoff nochmal angucken. Ja das habe ich auch raus und für den schnittpunkt habe ich die 9 einfach in die funktion eingesetzt um $y$ zu bekommen. Danke :-)

Respon

20:25 Uhr, 05.11.2018

Sollte daher $B (9 | 19)$ sein.

bjoern577 aktiv_icon

20:32 Uhr, 05.11.2018

Ja das habe ich auch raus :-)

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