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Paraboloid parametrisieren

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Tags: Paraboloid, Parameterdarstellung, Parametrisieren, Vektoranalysis, Vektorraum

Manuel91 aktiv_icon

15:57 Uhr, 05.06.2017

Hey, ich habe eine grundlegende Verständnisfrage und hoffe, dass mir das jemand erklären kann.

Ich habe leichte Probleme mit Paramterdarstellung, vor allem was komplexere Beispiele betrifft und finde im Internet auf die Schnelle keine genauen Erklärungen diesbezüglich.

Ich habe folgendes Beispiel:

"Sei

F

die Oberfläche des Paraboloids

x^{2} + z^{2} + y \leq 4

und sei

\vec{v} = (\begin{matrix} 0 \\ x^{2} + z^{2} \\ 0 \end{matrix})

Parametrisieren Sie F. Hinweis: Sie werden zwei Flächen getrennt parametrisieren müssen."

Folgende Umrechnungsschritte:

x^{2} + z^{2} \leq 4 - y

r^{2} = x^{2} + z^{2}

y \geq 0

φ \in [0, 2 \cdot π]

r \in [0, 2]

r^{2} = 4 - y

y = 4 - r^{2}

Und das Ergebnis:

Mantel:

(\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ 4 - r^{2} \\ r \cdot sin (φ) \end{matrix})

Boden:

(\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ 0 \\ r \cdot sin (φ) \end{matrix})

Ich habe auch eine Skizze des Körpers vor mir - siehe angehängte Datei - und meine Haupt(verständnis)frage ist: Wie kann ich anhand der Funktion

F : x^{2} + z^{2} + y \leq 4

erkennen, das der Körper so aussieht?

Info: Ich weiß wie man beispielsweise

x

und y-Anteile in Parameterform ausdrücken kann, aber ich verstehe nicht wie ich an dieser Funktion erkennen kann, dass der Körper so aussieht.

Würde die Angabe lauten: der Boden befindet sich in der x-z-Ebene und hat Radius

2,

die Spitze befindet sich im Punkt

(0,4,0)

hätte ich wahrscheinlich kein Problem. Bitte um Hilfe! LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

16:16 Uhr, 05.06.2017

Hallo
1. du solltest sehen, dass jeder Schnitt der Fläche mit Ebenen parallel zur

z - x

Ebene, also y=const einen Kreis x^2+z^2=4-const gibt. ebenso dass der Schnitt mit der

x = 0

Ebene eine Parabel gibt ebenso mit der

z = 0

Ebene, damit ist der Körper eigentlich leicht zu sehen. natürlich siehst du dir das für

04

statt

\leq 4

an, weil du ja den Rand willst.
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

16:39 Uhr, 05.06.2017

Wenn ich die Skizze vor mir habe, erkenne ich, dass jeder Schnitt der Fläche mit Ebenen parallel zur

z - x

Ebene einen Kreis gibt.

Aber wie erkenne ich, dass der Kreis Radius 2 hat? Ich weiß, dass die Gleichung für den Einheitskreis

x^{2} + y^{2} = 1

lautet. Hier lautet die Gleichung für meinen Kreis also einfach

x^{2} + z^{2} = 4 - y

?

Die Zeichnung hat mich etwas verwirrt, denn für mich sieht sie eigentlich wie ein Kegel aus. Habe gerade ein Paraboloid gegoogelt und sehe so auch die (halbierten) Parabeln in der

x = 0

und

z = 0

Ebene.

Gibt es etwas wie eine allgemeine Formel für ein Paraboloid, sodass ich Abwandlungen, wie in diesem Beispiel, leichter als Paraboloid erkennen kann?

LG

ledum aktiv_icon

19:10 Uhr, 05.06.2017

Hallo
für

y = 0

hast du ja

x^{2} + z^{2} = 2^{2}

also Radius 2
bei

y = 4

nur noch einen Punkt. die Zeichnung ist halt was sehr skizzenhaft, aber dass man für

z = 0

die Parabel

y = - z^{2} + 4

hat sollte man halt aus den Gleichungen sehen .
also eigentlich sieht man sich nicht ne schlechte Skizze an sondern untersucht selbst was für die Ebenen

x = 0, y = 0

und

z = 0

und evtl, für dazu parallele passiert.
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

16:08 Uhr, 06.06.2017

Verstehe, werde mich in Zukunft nicht mehr so von Skizzen ablenken/verwirren lassen. Danke!

LG

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