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Parallele Tangenten an Funktion (Abiaufgabe)

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Abiaufgabe 2004, Funktion, parallel, Tangent

sneki aktiv_icon

16:54 Uhr, 29.03.2010

Hallo!
Ich versuche grade diese Abituraufgabe aus dem Jahre

2004

zu lösen:
Gegeben ist eine Funktion

y = f (x) = x^{2} + 2 x - \frac{8}{x}

x e ℝ, x \neq 0,

der Graph heißt

F

Zuerst sollte man die Nullstellen ermitteln, diese sind

x_{1} = 2

und

x_{2} = - 4 .

Die Polstelle liegt bei

x_{0} = 0

Nun sollte man eine Tangente

t_{1}

finden, also die Gleichung aufschreiben, die an der positiven Nullstelle von

F

liegt (diese ist

x_{1} = 2)

t_{1} = 3 x - 6

nun geht die Aufgabe weiter: Ermitteln Sie die Gleichungder Tangente

t_{1}

(habe ich ja schon) sowie eine Gleichung der Tangente

t_{2}

an den Graphen

F,

die zur Tangente

t_{1}

parallel ist

(t_{1} \neq t_{2})

. Berechnen sie den Abstand der Tangenten

t_{1}

und

t_{2} .

in den lösungen steht, ich soll irgendwie einen Berührungspunkt

x_{B} (- 2 | 4)

ausrechnen und dann auf

t_{2} = 3 x + 10

kommen, aber wie??? ich steige dort nicht durch, kann mir jemand erklären, wie ich zu

t_{2}

komme? und auch gleich noch, wie das mit dem Abstand funktioneren soll?

: (

ich verzweifle!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Shipwater aktiv_icon

17:14 Uhr, 29.03.2010

Hallo,

Klammern setzen! Du meinst wohl

f (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x} = x + 2 - \frac{8}{x}

Parallel heißt selbe Steigung also suchst du eine weitere Stelle, an der die Steigung 3 ist:

f' (x) = 1 + \frac{8}{x^{2}} = 3 \Leftrightarrow \frac{8}{x^{2}} = 2 \Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{1,2} = \pm 2

An der Stelle

- 2

ist dies der Fall. Da

f (- 2) = 4

ist der Berührpunkt

B (- 2 | 4)

Und jetzt stellst du noch die Tangentengleichung an diesen Punkt auf.

Und zum Abstand der Tangenten. Ihr habt doch bestimmt schon Vektorrechnung angefangen ich denke da gibt es einen einfachen Weg den Abstand zweier Parallelen zu berechnen. Ich bin selber erst in Klasse

11

und kenne nur den Weg über Senkrechte aufstellen, Schnittpunkte ermitteln, Abstand der Schnittpunkte=Abstand der Geraden ermitteln

Shipwater

ahmedhos aktiv_icon

17:22 Uhr, 29.03.2010

wenn

f (x) = x^{2} + 2 x - \frac{8}{x}

dann ist

f (2) = {(2)}^{2} + 2 \cdot 2 - \frac{8}{2} = 4 + 4 - 4 = 4 \Rightarrow x = 2

ist keine Nullstelle
und

f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 2 \cdot - 4 - \frac{8}{- 4} = 16 - 8 + 2 = 10 \Rightarrow x = - 4

ist auch keine Nullstelle
Shipwater hats erfasst es ist

f (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x}

Nullstellen:

x_{1} = 2

und

x_{2} = - 4

Die erste Ableitung:

\frac{d}{d x} f (x) = \frac{x^{2} + 8}{x^{2}}

\frac{d}{d x} f (x_{1} = 2) = 3 = m_{1}

f (2) = 0 \Rightarrow P = (\begin{matrix} P_{x} \\ P_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})

oder

P (2,0)

Es nennt sich Punktsteigungsform, also Geradengleichung mithilfe von

m

und einem Punkt

P

bestimmen.

t_{1} - P_{y} = m_{1} \cdot (x - P_{x})

t_{1} - 0 = 3 \cdot (x - 2)

t_{1} = 3 \cdot x - 6

Damit

t_{2}

parallel zu

t_{1}

sein kann, muß

m_{2} = m_{1} = 3

sein.

\Rightarrow t_{2} = 3 \cdot x + b

Da aber

m_{2} = \frac{d}{d x} f (x_{2}) = \frac{x_{2}^{2} + 8}{x_{2}^{2}} = 3 \Leftrightarrow 3 \cdot x_{2}^{2} = x_{2}^{2} + 8 \Leftrightarrow x_{2} = \pm 2

+ 2

hatten wir schon.

- 2

noch nicht.

m_{2} = 3

f (- 2) = 4 \Rightarrow P (- 2,4)

Punktsteigungsform wieder:

t_{2} - P_{y} = m \cdot (x - P_{x})

t_{2} - 4 = 3 \cdot (x + 2)

t_{2} = 3 \cdot x + 10

Beim Abstand brauchst du die Hilfe von der analytischen Geometrie!

Shipwater aktiv_icon

17:23 Uhr, 29.03.2010

Hallo ahmedhos,

es soll wohl

f (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x}

heißen.

sneki aktiv_icon

18:45 Uhr, 29.03.2010

nein qq das forum zeigt meine formel nicht an!
es ist

x^{2} + 2 x - 8

und das alles durch

x

und nicht

8 x ._{}

Shipwater aktiv_icon

18:51 Uhr, 29.03.2010

www.onlinemathe.de/hilfe/software

sneki aktiv_icon

18:55 Uhr, 29.03.2010

oh herzlichen dank xD jetzt ist auch alles viel leserlicher :-) *wird jetzt mal versuchen die obrigen posts zu verstehen*

Edit:

so also ich habe jetzt erstmal das prinzip verstanden, so ein bisschen glaube ich, danke :-)
trotzdem habe ich noch ne frage:
wieso kann ich aus

\frac{x^{2} + 8}{x^{2}}

eigentlich

1 + \frac{8}{x^{2}}

machen? also wieso kürzt man die beiden

x

nich einfach weg? und woher kommt die 1? :-)

ahmedhos aktiv_icon

19:11 Uhr, 29.03.2010

\frac{1}{1} + \frac{8}{x^{2}} = \frac{1 \cdot x^{2} + 8 \cdot 1}{1 \cdot x^{2}}

\frac{a}{b} \pm \frac{d}{c} = \frac{a \cdot c \pm b \cdot d}{b \cdot c}

Shipwater aktiv_icon

19:34 Uhr, 29.03.2010

\frac{x^{2} + 8}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8}{x^{2}} = 1 + \frac{8}{x^{2}}

\Rightarrow

Bruchrechnung 5.Klasse

sneki aktiv_icon

15:30 Uhr, 30.03.2010

aha, danke qq ja ich bin nicht so gut in mathe und solche alten sachen kann ich schon garnicht mehr

so nun habe ich das mit dem abstand versucht und wollte mit analytischer geometrie (punkt-geraden-abstand) den abstand zwischen den beiden tangenten ausrechnen, jedoch bin ich irgendwie im nichts gestrandet, weil ich auch nicht genau weiß, welche punkte ich da jetz wie zu vektoren umbastle

: (

also das falsche was ich bisher habe:

t_{1} = 3 x - 6

t_{2} = 3 x + 10

t_{1}

liegt ja am Punkt

(2 | 0)

(die positive Nullstelle) an

F

an, also wollte ich den punkt als Ausgangspunkt nehmen und hab dann irgendwie angefangen mit dem Punkt-Geraden-Abstandszeug was ich mir aufgeschrieben hatte..

t_{1}

liegt an

P (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})

und suchen tue ich den Punkt

Q (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

auf

t_{2}

PQ ist dann

(\begin{matrix} x - 2 \\ y - 0 \end{matrix})

so jetzt steht bei mir im hefter, dass ich für

Q

die Gerade (also

t_{2})

einsetze, nur irgendwie weiß ich nicht, wie ich das jetzt mache! bei

3 x + 10

sind die 3 und die

10

in der analytischen geometrie ja vektoren nur hier ja nicht, also weiß ich nicht, wie ich das für

y

aufschreiben soll *kopfkratz*
also ja ich kann ja mal schreiben was in meinem lösungsbuch steht, nur daraus werde ich mal wieder nicht schlau

._{}

. ich mag den stark verlag nicht xD die schreiben die lösungen immer nur für schlaue leute die ahnung haben

._{.}'

d (t_{1}, t_{2}) = d (B, t_{1})

(1)

Gerade

h,

die senkrecht zu

t_{1}

durch den Punkt

B

verläuft:

m ⊥ = - \frac{1}{3} \to

wie kommen die auf -(1)/(3)?? ....und was soll diese

m ⊥

sein?

y = - \frac{1}{3} x + n

mit

B (- 2 | 4)

4 = - \frac{1}{3} \cdot (- 2) + n; n = \frac{10}{3}

h : y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3})

(2)

h \cap t_{1} = {P}

3 x - 6 = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}; x = 2,8;

also

P (2,8 | 2,4)

(3)

d=|BP| :

d = | (\begin{matrix} 4,8 \\ - 1,6 \end{matrix}) | = \sqrt{{4,8}^{2} + {(- 1,6)}^{2}} = 5,06

nur das kapier ich nicht und es ist ja auch nich sinn der sache, dass ich die lösungen einfach abpinsel

: (

Shipwater aktiv_icon

15:42 Uhr, 30.03.2010

Ich würde es ja so machen:

t_{1} = 3 x - 6

t_{2} = 3 x + 10

Beliebige orthogonale Gerade:

y = - \frac{1}{3} x + 10

Schnittpunkte ermitteln

3 x - 6 = - \frac{1}{3} x + 10

\Rightarrow S_{1} (4,8 | 8,4)

3 x + 10 = - \frac{1}{3} x + 10

\Rightarrow S_{2} (0 | 10)

Abstand nach Pythagoras:

d = \sqrt{{(10 - 8,4)}^{2} + {(4,8 - 0)}^{2}} = \sqrt{25,6}

sneki aktiv_icon

15:45 Uhr, 30.03.2010

nur woher kommt das

- \frac{1}{3}

bei der geraden?

: (

Shipwater aktiv_icon

15:46 Uhr, 30.03.2010

Es muss eine Orthogonale sein. Und für zwei Geraden mit den Steigungen

m_{1}

und

m_{2}

muss gelten

m_{1} = - \frac{1}{m_{2}}

damit orthogonal. In diesem Falle also

m_{2} = - \frac{1}{3}

sneki aktiv_icon

15:50 Uhr, 30.03.2010

aha ok, davon habe ich noch nie was gehört

...

wir hatten orthogonalität nur im zusammenhang mit vektoren (und da sind die orthogonal wenn das skalarprodukt 0 ist)

danke! dann versuche ich es mal so :-)

Shipwater aktiv_icon

15:52 Uhr, 30.03.2010

aha ok, davon habe ich noch nie was gehört
Ja, das lernt man normalerweise Anfang 11.Klasse.

wir hatten orthogonalität nur im zusammenhang mit vektoren (und da sind die orthogonal wenn das skalarprodukt 0 ist)
Das zum Beispiel weiß ich noch nicht, aber wir fangen demnächst auch mit analytischer Geometrie an. ;-)

sneki aktiv_icon

16:04 Uhr, 30.03.2010

sooo danke an euch

< 333

ich bin endlich fertig mit der aufgabe :-)

Shipwater aktiv_icon

18:22 Uhr, 30.03.2010

Gern geschehen.

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