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Parallele und senkrechte Polynome

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Funktionenraum, parallel, senkrecht, Skalarprodukt, Vektor

derwurm aktiv_icon

11:37 Uhr, 09.11.2015

Hallo liebe Onlinemathematiker,

In meiner Aufgabe habe ich zwei Vektoren gegeben. Einen Vektor

a = x^{2}

und einen Vektor

b = - x

. Nun soll ich den Vektor

a

in einen Teil a (parallel) und einen Teil a (senkrecht) zu Vektor

b

zerlegen. Ich hab keine Ahnung wie eich einen Vektor dieser Form Zerlegen kann und weiß daher nicht wie ich Anfangen soll.

Ich wäre für jeden Tipp dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

ledum aktiv_icon

11:50 Uhr, 09.11.2015

Halllo
Du befindest dich offensichtlich im VR der Polynome, ist eine Basis gegeben? Wie ist das Skalarprodukt definiert?
wie würdest du die Aufgabe bei dir vertrauteren Vektoren, etwa im

ℝ^{3}

lösen?
Vielleicht ist es besser die Aufgabe wirklich zu posten, und nicht diesen etwas eigenartigen Ausschnitt.
Gruß ledum

derwurm aktiv_icon

11:59 Uhr, 09.11.2015

Hey,
Das Skalarprodukt ist definiert als

\int f (x) g (x) d x

mit den Grenzen von 0 bis 1. Im normalen Fall würde man sich wohl Gedanken zur Parallelität und Orthogonalität machen und ein LGS aufstellen. Da das Konzept der Funktionenräume allerdings nie erläutert wurde, habe ich keine richtige Vorstellung davon, wie Funktionen als Vektoren überhaupt funktionieren und mir fehlt jeglicher Ansatz. Die Aufgabe ist genau so gestellt, mit dem Zusatz, dass man die Orthogonalität am Ende noch mit der genannten Formel für das Skalarprodukt bestätigen soll. Danke schonmal!
EDIT: Es handelt sich um den Vektorraum der kontinuierlichen Fubktionen (falls das was hilft)...

ledum aktiv_icon

12:13 Uhr, 09.11.2015

Hallo
ich hätte trotzdem gern den Orginaltext der ganzen Aufgabe!
du bewegst dich in einem UVR der Polynome vom Grade

\leq 2

dass man die addieren und mit Zahlen mult kann ist dir hoffentlich klar, was fehlt noch zu einem VR? mit Skalarprodukt hast du dann noch eine Metrik.

2 V a, b

stehen senkrecht aufeinander, wenn

< a, b \geq 0

eine Komponente eines Vektors

a

in Richtung

b

findest du mittels Skalarprodukt wie findest du den etwa bei

a = (3,4) b = (1,2)

? mach es hier genauso.
was du so sehr allgemein sagst "würde man sich wohl Gedanken zur Parallelität und Orthogonalität machen und ein LGS aufstellen" fänd ich etwa für mein gestelltes Problemchen schon was übertrieben, und sehr wischiwaschi.
Also lös erst mal mein Problem, versuch es dann auf deines anzuwenden, oder zeig wie du meines gelöst hast
Gruß ledum

derwurm aktiv_icon

12:46 Uhr, 09.11.2015

Hey,
Originaltext: Parallele und senkrechte Polynome: Wir betrachten den Vektorraum der kontinuierichen Funktionen
und definieren das Skalarprodukt (so wie oben, Formatierung)
Gegeben seien die beiden Vektoren

a = x^{2}

und

b = - x

. Zerlegen Sie a in einen Anteil

a k

parallel und
einen Anteil

a ⊥

senkrecht zu

b

und zeigen Sie mit dem Skalarprodukt, dass

a ⊥

auch wirklich senkrecht
auf

b

steht.

Zu deinem ''Problemchen'' Komponenten Vektor

a

in Richtung Vektor

b

\frac{(3, 4) * (1, 2)}{∣ (1, 2) ∣^{2}} * (1 e_{1} + 2 e_{2}) = \frac{11}{5} * (1 e_{1} + 2 e_{2})

.
So würde ich das lösen. Ich glaube, bei mir ist aber das größere Problem, dass ich mir vorkomme, wie als würde man mir sagen: Hier hast du ein Lineal, miss mal die Raumtemperatur. Ich kann mir auf das Konzept von Funktionen als Vektoren keinen Reim machen. Wie sollte ich das o.g. auf meine Aufgabe anwenden? Ich habe ja keine Komponenten mit denen ich so rechnen kann. Wäre cool, wenn du mich da nochmal etwas erleuchten könntest.

Eine Sache verwirrt mich aber: Ich dachte immer bei Orthogonalität ist <a,b> = 0?

Danke schonmal

ledum aktiv_icon

13:40 Uhr, 09.11.2015

Hallo
wenn du

z . b

als Basisvektoren des Polynomvektorraume
die Polynome

e : 1 = 1, e : 2 = x, e : 3 = x^{2},

. für Pol. vom Grad

\leq 2

nimmst
dann kannst du doch das allgemeine Polynom

p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}

schreiben als

a_{0} e_{1} + a_{1} e_{2} + a_{2} e_{3}

oder sogar mit dem Zahlenspiel

(a_{0}, a_{1}, a_{2})

und eine eindeutige Zuordnung zu Vektoren des

ℝ 13

angeben.
Was sind denn Vektoren für dich? nur so Pfeilchen im

ℝ^{n}

Vektoren sind Objekte, die Elemente eines Vektorraums sind, mehr nicht, und dass etwa die stetigen Funktionen einen VR bilden heisst nur, dass sie den Axiomen des VR genügen. Daran muss man sich gewöhnen, dass du mit den Vektoren des

ℝ^{3}

umgehen kannst liegt nur daran, dass diese Objekte in der Schule als einzige "Vektoren" bekannt gemacht wurden, und in Schulen leider nur "geometrische" Vektoren behandelt wurde und es den Begriff des VR noch nicht gab,
langsam musst du begreifen dass

V

wirklich alles sein können, von dem man zeigen kann, dass es die Axiome des VR erfüllt.
jetzt zu

x

und

x^{2}

wie in meiner Trivialaufgabe, da hätte ich als Antwort lieber gehabt

a

in Richtung

b : a_{b} = \frac{11}{5} \cdot b

aber deine Antwort ist richtig.
Nun ist im neuen VR das Skalarprodukt anders definiert, du kannst also nicht einfach Komponenten mult.
der Vorgang ist aber derselbe
bilde

a_{b} = \frac{< a, b >}{{(< b, b >)}^{2}} \cdot b

die dazu senkrechte ist dann

a - a_{b}

du musst also nur statt Komponenten mult. Integrale ausrechnen.
Gruß ledum

derwurm aktiv_icon

13:49 Uhr, 09.11.2015

Hey,

Alles klar, vielen Dank für deine Antwort. Das war sehr hilfreich, vorallem die Erklärung zum Funktionenraum. Ich glaube, jetzt sollte ich die Aufgabe lösen können :-)

Gruß

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