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Parallelogramm Seitensymmetralen berechnen

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Parallelogramm, Seitensymmetralen

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08:12 Uhr, 23.09.2017

Hallo!

Ich habe eine Frage zu einem Beispiel mit einem Parallelogramm. Hierbei sind 3. Aufgabenstellungen zu lösen.

Gegeben ist das Parallelogramm ABCD mit den Punkten

A (4,6) B (7, - 1) D (4,1)

1)

Berechnung des fehlenden Punktes

C :

Diesen Punkt konnte ich selber lösen mit der Lösung:

C (7, - 6)

2)

Geben Sie die Gleichungen der Seitensymmetralen in der Form ax

+

= c

von AB und AD an

3)

Berechnen Sie den Schnittpunkt

S = (

Sx , Sy ) der beiden Seitensymmetralen

Ich bräuchte bitte eine Erklärung für die Lösung von Punkt 2 und Punkt 3.
Falls es jemanden hilft habe ich die Antworten für beide Berechnungen aber nicht den Weg dorthin den ich benötige.

Punkt

2)

Seitensymmetrale AB

\Rightarrow y = \frac{3}{7} \cdot x + \frac{1}{7}

Seitensymmetrale AD

\Rightarrow y = \frac{7}{2}

Punkt

3)

S = (\frac{47}{6}, \frac{7}{2})

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalte
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

anonymous

08:45 Uhr, 23.09.2017

2)

Verwende die Eigenschaften von

S_{A B} :

Die Seitensymmetrale geht durch den Mittelpunkt der Seite

A B

(M_{A B} = \frac{A + B}{2})

und steht normal auf

A B

.
Bestimme dazu den Richtungsvektor von

A B

und den darauf normalstehenden Vektor.

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09:37 Uhr, 23.09.2017

Ich habe nun den Richtungsvektor AB bestimmt mit

(3, - 7)

Aber was muss ich jetzt weiter machen ?

LG

anonymous

09:44 Uhr, 23.09.2017

Für den Normalvektor gibt es eine Regel: Man vertauscht die beiden Komponenten und einer davon bekommt ein "-" vorgesetzt.

\vec{v_{A B}} = (\begin{matrix} 3 \\ - 7 \end{matrix}) \Rightarrow \vec{n_{A B}} = (\begin{matrix} - (- 7) \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})

(\begin{matrix} 3 \\ - 7 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) = 21 - 21 = 0

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09:48 Uhr, 23.09.2017

Okay , jetzt haben wir beide Sachen die man braucht nehme ich an aber wie führt man diese zusammen das man genau auf dieses Ergebnis kommt ?

LG

anonymous

09:54 Uhr, 23.09.2017

Gleichung einer Geraden allgemein:

\vec{x} = \vec{P} + t \cdot \vec{v}

Dabei ist

P

der feste Punkt ( hier also

M_{A B})

und

\vec{v}

der Richtungsvektor der Seitensymmetrale ( hier also

(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}))

. Und dann in die gewünschte Form umwandeln
Oder du verwendest die Normalvektorform der Seitensymmetrale ( geht schneller ).
Oder du gehst die Geradengleichung gleich ganz ohne Vektor an.
Muss leider offline gehen.

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12:35 Uhr, 23.09.2017

Ich habe mich jetzt versucht, dass in die allgemeine Geradengleich

a \cdot x + b \cdot y = c

zu bringen, wie es die Lösung vorsieht bin aber nicht dort hingekommen. Muss man beim "umwandeln" gewisse Sachen oder besser gesagt wie führt man diese richtig durch ?

LG

anonymous

18:53 Uhr, 23.09.2017

Bestimme die Gleichung der Seitensymmetrale

s_{A B}

.
Kurzform mit der Normalvektorform.
Allgemein:

\vec{x} \cdot \vec{n} = P \cdot \vec{n}

Dabei ist

P

der Ortsvektor eines "festen" Punktes von

s_{A B} (

hier

M_{A B})

. Dem Normalvektor von

s_{A B}

entspricht der Richtungsvektor von

A B

M_{A B} = (\begin{matrix} 5,5 \\ 2,5 \end{matrix})

und

\vec{v} = (\begin{matrix} 3 \\ - 7 \end{matrix})

s_{A B} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5,5 \\ 2,5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 7 \end{matrix})

\vec{x}

steht für

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5,5 \\ 2,5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 7 \end{matrix}) \Rightarrow 3 \cdot x - 7 \cdot y = 5,5 \cdot 3 - 2,5 \cdot 7 \Rightarrow 3 \cdot x - 7 \cdot y = - 1

( oder wie von dir angegeben

y = \frac{3}{7} \cdot x + \frac{1}{7}

)

Analog für

s_{A D} \Rightarrow s_{A D} : y = 3,5 (

diese Seitensymmetrale verläuft parallel zur x-Achse )

Schnittpunkt

S

der beiden Seitensymmetralen

s_{A B}

und

s_{A D}

s_{A B} : 3 \cdot x - 7 \cdot y = - 1

s_{A D} : y = 3,5

\Rightarrow 3 \cdot x - 7 \cdot (3,5) = - 1 \Rightarrow x \approx 7,83 \Rightarrow S (7,83 | 3,5)

( Wie schon oben darauf hingewiesen, sind aber auch noch andere Methoden möglich. )

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22:10 Uhr, 24.09.2017

Vielen Dank für die super Erklärung du hast mir echt viel geholfen Danke!!

LG

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