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Parallelogrammidentität in L^1 Räumen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Lebesque-Raum, L^1 Raum, L^p Räume, Parallelogrammidentität

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SD123

10:40 Uhr, 30.04.2015

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Hallo,
Ich möchte beweisen, dass der

L^{1}

kein Hilbertraum ist. In einem Hilbertraum würde ja die Parallelogrammidentität gelten. Nun möchte ich diese mit der Definition für die L^1-Norm zu einem Widerspruch führen, bekomme aber leider immer wieder die Gleichung raus ;-). Kann mir vielleicht jemand helfen?
Lg Sarah

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Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:56 Uhr, 30.04.2015

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Versuche es mit

f (t) = 1

,

g (t) = 1 + t

auf

[0, 1]

.

SD123

11:16 Uhr, 30.04.2015

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Danke für Deine Antwort!
Ich hab es mal getestet, aber ich komme schon wieder auf Gleichheit. Wo mache ich denn hier einen Fehler???

20150430_111452

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:33 Uhr, 30.04.2015

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Du machst keine Fehler, das Beispiel ist schlecht gewählt, tut mir leid.
Versuche mit

1 + t

und

1 - t

auf

[0, 2]

(aber nicht auf

[0, 1]

!).

SD123

08:25 Uhr, 01.05.2015

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Das geht schon wieder auf ;-)!
Hast Du vielleicht noch eine Idee für ein Beispiel???
Vielen Dank!

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

08:41 Uhr, 01.05.2015

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\int_{0}^{2} ∣ 1 + t ∣ d t = \int_{0}^{2} d t + \int_{0}^{2} t d t = 2 + 2 = 4

,

\int_{0}^{2} ∣ 1 - t ∣ d t = \int_{0}^{1} (1 - t) d t + \int_{1}^{2} (t - 1) d t = \int_{0}^{1} d t - \int_{0}^{1} t d t + \int_{1}^{2} t d t - \int_{1}^{2} d t = 1 - 0.5 + 2 - 0.5 - 1 = 1

,

\int_{0}^{2} ∣ (1 + t) + (1 - t) ∣ d t = 2 \int_{0}^{2} d t = 4

,

\int_{0}^{2} ∣ (1 + t) - (1 - t) ∣ d t = 2 \int_{0}^{2} t d t = 2 \cdot 2 = 4

.

4^{2} + 4^{2} \neq 2 \cdot (4^{2} + 1^{2})

.

Ich sehe keinen Fehler.

Frage beantwortet

SD123

09:16 Uhr, 01.05.2015

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Mein Fehler...ich habe mich vertan! Jetzt passt es. Vielen Dank!

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