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Parallelschaltung als Komplexe Zahl berechnen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

ScientistSalarian aktiv_icon

20:25 Uhr, 22.09.2015

Hallo allerseits, ich muss schnell machen weil ich jetzt gleich Training habe also sorry dass es zu knapp und eventuell zu undeutlich ist :-)

Ich weiß dass wenn man Bruch rechnet und im Nenner und Zähler jeweils

+

und/oder minus stehen, dann man das berechnet, indem man das mit dem inverse Faktor mal rechnet.
Wie sieht es aber bei einer Paralleschaltung bei der Elektrotechnik aus, weiß das jemand?

Hier die Rechnung:

\frac{20 \cdot j 31,4}{20 + j 31,4}

Raus kommen soll

16,9

Ohm

\cdot e^{j 32,5}

°)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

21:59 Uhr, 22.09.2015

"...indem man das mit dem inverse Faktor mal rechnet"
Du meinst sicherlich: indem man mit der konvergiert komplexen Zahl erweitert.

Und: Was in der Mathematik gültig ist, warum sollte das in der Elektrotechnik ungültig sein?

Detail:
Deine Aufgabe enthält keine Einheiten.
Rein formal können so keine

[

Ohm] rauskommen.

Roman-22

22:01 Uhr, 22.09.2015

> >

"...indem man das mit dem inverse Faktor mal rechnet"

>

Du meinst sicherlich: indem man mit der konvergiert komplexen Zahl erweitert.
Und du meinst sicherlich die zum Nenner konjugiert komplexe Zahl ;-)

>

Wie sieht es aber bei einer Paralleschaltung bei der Elektrotechnik aus, weiß das jemand?
Eine Division kannst du zwar durch entsprechende Erweiterung nur in Komponentendarstellung wie in der Schulmathematik gelehrt durchführen, sinnvoller ist es aber allemal, mit Betrag und Phase zu arbeiten.

< u > Z

anonymous

22:02 Uhr, 22.09.2015

ja genau.

Roman-22

22:25 Uhr, 22.09.2015

Wollte vorhin noch weiter ausführen und hab dann irrtümlich den "Antworten" Button erwischt.
Gehts also um die Parallelschaltung von Ohmschen Widerstand und Induktivität?

Z_{1} = 20 Ω

Z_{2} = j \cdot 31,4 Ω

Z_{1} = 20 Ω ∠ 0^{\circ}

Z_{2} = 31,4 Ω ∠ 90^{\circ}

Z_{1} \cdot Z_{2} = (20 \cdot 31,4) Ω ∠ (0^{\circ} + 90^{\circ}) = 628 Ω^{2} ∠ 90^{\circ}

Z_{1} + Z_{2} = (20 + j \cdot 31,4) Ω = 37,228 Ω ∠ {57,505}^{\circ}

\frac{Z_{1} \cdot Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} = (\frac{628 Ω^{2}}{37,228 Ω}) ∠ (90^{\circ} - {57,505}^{\circ}) = 16,869 Ω ∠ {32,495}^{\circ}

R

PS: Gibts hier im normalen Text-Modus einen einfachen Weg, einzelne Buchstaben zu unterstreichen? Die HTML-Tags

< u >

und "<

/ u

>" sind hier leider nicht hilfreich um

Z

oder

Z_{1}

zu unterstreichen, da der Schrägstrich als Division interpretiert wird und ich irgend ein Dummy-Zeichen hinzufügen müsste

\to

Z_1"

\to

unbrauchbar.

Ein korrektes Versor-Zeichen, bei dem der waagrechte Schenkel unter dem Phasenwert verläuft, wird ja vermutlich auch nicht so leicht realisierbar sein.

ScientistSalarian aktiv_icon

15:39 Uhr, 23.09.2015

cool, danke! :-)

Also kann ich es nicht so schreiben?

[\frac{20 \cdot j 31,4}{20 + j 31,4} \cdot \frac{20 - j 31,4}{20 - j 31,4}]

Weil wichtig ist doch dass im Nenner das

+

oder - steht oder nicht?

Und außerdem gilt auch jy/x

= {tan}^{- 1}

bzw.

\frac{sin}{cos =} {tan}^{- 1}

und da komm ic hauch auf57,5° raus.

Allerdings...mir war zugegebnermaßen nicht klar dass man an dieser Stelle den Betrag

\sqrt{20^{2} + {31,4}^{2}} = 37,228

rechnen sollte. Beziehungsweise wie der Betrag und Winkel 90° in Zusammenhang stehen.

Ja es geht um die Induktivität

L =

100mH. Gegeben ist Spannung

U = 100 V

sowie

R 1 = 10

Ohm und

R 2 = 20

Ohm. DIe Schaltung hat eine Frequen

f = 50

Herz.

R 2

udn

L

sind parallel zueiannder und weiderum in Reihe zu

R 1

.
Also:

ω L = 2 \cdot π \cdot 50 \cdot 100^{- 3} H = 31,4

Ohm.

Später wird es interessant, denn da gilt dann I

= \frac{U}{R 1 + Z 2} = \frac{100 V}{(10 + 16,9 e^{j 32,5})}

3,87 e^{- j 20,5}

sein soll.
Mir ist der eulersche Satz noch bekannt, also rein theoretisch im nenner anders geschrieben:

10 + (16,9 \cdot (cos 32,5) + (sin 32,5))

. Allerdings kann ich es mit dem Taschenrechner sicher wenn ich Gradmaß in Bogenmaß umwandel was hier nicht so einfach geht. Ich bekomme jedenfalls raus:

\frac{100}{10 + 14,745 + j 8,257}

Aus dem was wir oben haben

[Z 1 + Z 2 =

Betrag aus Real

+

Imaginär

]

\frac{100}{\sqrt{{24,745}^{2} + {8,257}^{2}}}

Also

3,83

statt der

3,87 . .

. und wie dann das

e^{j - 20,5}

raus kommt weiß ich auch wieder nicht.
Sorry, ich hatte komplexe Zahlen im 1. Semester und das liegt etwas zurück :-)
EDIT: Hat sich erledigt, ich hatte statt DEG auf GRAD gestellt gehabt
Habe jetzt das richtige Ergebniss und den richtigen Winkel. :-)

Roman-22

23:47 Uhr, 23.09.2015

>

Also kann ich es nicht so schreiben?

>

[

20⋅j31,420+j31,4⋅20-j31,420-j31,4]

Doch, kannst du. Und es wäre nicht nur richtig, sondern auch zielführend. Du erhältst damit den komplexen Widerstand in Komponentenform und musst dann eben am Schluss von diesem Ergebnis Betrag und Phase berechnen. Sollte das gleiche Ergebnis liefern.

Generell ist es halt so, dass man sinnvollerweise nur Addition und Subtraktion (Serienschaltung, Addition gleichfrequenter Schwingungen,...) in Komponentenform durchführt. Für Multiplikation, Division und Potenzieren ist idR die Exponentialform effizienter.

Für das Hin- und Her-Springen zwischen den beiden Darstellungen empfiehlt es sich, die entsprechende Umrechnungsfunktionen seines Taschenrechners gründlich zu studieren, damit hier dann bei praktischen Aufgaben nicht unnötig Zeit verloren geht.

R

ScientistSalarian aktiv_icon

00:18 Uhr, 26.09.2015

Danke für die Antworten. Wenn man das eine Plus das andere rechnet, kommt man nicht direkt darauf den Betrag zu nehmen, wenn man lange nicht Komplexe Zahlen hatte :-)
Kann vielleicht noch jemand den Hintergrund zu solchen Aufgaben erklären?

ledum aktiv_icon

01:21 Uhr, 26.09.2015

Hallo
was meinst du mit Hintergrund? Physik oder Rechnen mit komplexen Zahlen?
Gruß ledum

Roman-22

03:20 Uhr, 26.09.2015

>

Danke für die Antworten.
Gern geschehen.

>

Wenn man das eine Plus das andere rechnet,
??? Du meinst, wenn man zwei komplexe Zahlen addiert ?

>

kommt man nicht direkt darauf den Betrag zu nehmen, wenn man lange nicht Komplexe Zahlen hatte :-)
Darauf sollte man auch gar nicht kommen, denn das wäre falsch! Wenn du zwei komplexe Zahlen addierst, arbeitest du NICHT mit den Beträgen der Zahlen, sondern du addierst getrennt Realteile und Imaginärteile!

>

Kann vielleicht noch jemand den Hintergrund zu solchen Aufgaben erklären?
??? Den Praxisbezug hast du doch selbst schon geliefert, oder etwa nicht?

R

ScientistSalarian aktiv_icon

15:56 Uhr, 26.09.2015

Ja wie Du bereits sagtest: Man addiert Realteile und Imaginärteile.

20 + j 31,4

ist ja Realteil plus Imaginärteil, stimmts?

Aber hier wurde der Betrag genommen. Ohne Hilfe würde ich jetzt nicht darauf kommen wieso man hier mit Betrag rechnet. :-)
Ich hab mich gewundert, wurde hier gerrechnet mit rein mathematischem Hintergund im Sinne oder weil es physikalisch bzw. elektrotechnisch dienlich ist?

Roman-22

16:20 Uhr, 26.09.2015

>

Aber hier wurde der Betrag genommen.
NEIN! Wurde nicht! Dass die verwendeten Zahlen zufälligerweise mit den Beträgen der komplexen Widerstände übereinstimmen hat kaum Bedeutung.

Du hast

Z_{R} = (20 + j \cdot 0) Ω

und

Z_{L} = (0 + j \cdot 31,4) Ω

und addierst Real- und Imaginärteil getrennt. Das hat nichts mit Beträgen zu tun!

>

Ohne Hilfe würde ich jetzt nicht darauf kommen wieso man hier mit Betrag rechnet. :-)
Wie schon geschrieben sollst du ja auch besser nicht auf diese Idee kommen.

Hättest du anstelle der Induktivität eine Kapazität mit

Z_{C} = - j \cdot 31,4 Ω,

dann würdest du ja hoffentlich auch nicht die Beträge nehmen und als Ergebnis

(20 + j \cdot 31,4) Ω

schreiben sondern eben

(20 - j \cdot 31,4) Ω

R

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