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Parameter Bestimmen für Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

TestUser123456789 aktiv_icon

15:21 Uhr, 25.01.2023

Hallo,

Ich komme leider nicht weiter bei dieser Aufgabe.

Muss ich hier tatsächlich die Regel von L'Hospital verwenden?

Wenn ich sonst solche Aufgaben gelöst habe, konnte ich einfach den Wert

x 0 = π

einsetzten und entsprechend auflösen. Hier scheint das nicht zu gehen. Kann mir jemand sagen warum?

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

calc007

16:14 Uhr, 25.01.2023

Hallo
Von "Regel von d'Hospital" sehe ich auch nirgends eine Erwähnung.
Du wirst lediglich dazu aufgefordert, Grenzwerte zu bestimmen. Und das offensichtlich für die Differenzialquotienten.
Auf welchem Weg du dies tun sollst, ersehe ich aus dieser Aufgabenbeschreibung nicht.
Du wirst aus den Fortschritten in deiner Vorlesung erahnen sollen, ob du hierzu wirklich den Weg über den Differenzenquotienten und ggf. Reihenentwicklung nutzen willst/sollst, oder ob du Ableitungen zB. der sin-Funktion vorausgesetzt wissen und nutzen kannst.

Um es mal in Worte zu fassen:
Du sollst schlichtweg die Ableitungen der Funktion

>

linksseitig

>

und rechtsseitig
der Definitionsgrenze bestimmen.

Lass wissen, falls du weitere Anschubhilfe brauchst.

Punov aktiv_icon

17:04 Uhr, 25.01.2023

Nabend, TestUser123456789!

Vielleicht noch zur Ergänzung:

Für welche

α \in ℝ

stimmen die Differenzenquotienten überein, d.h. für welche

α \in ℝ

gilt für alle

x_{0} \in ℝ

lim_{x \to x_{0}^{-}} \frac{f_{α} (x) - f_{α} (x_{0})}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}^{+}} \frac{f_{α} (x) - f_{α} (x_{0})}{x - x_{0}} ?

(In deinen Differenzenquotienten fehlt jeweils der Index

α

.)

Wenn du die Fallunterscheidung

(1)

x_{0} = π

(2)

x_{0} < π

(3)

x_{0} > π

machst, wirst du feststellen, daß lediglich Fall (1) eine Bedingung an

α \in ℝ

bezüglich der Identität der beiden Grenzwerte liefert. Das ist wohl auch der Grund, wieso dieser Fall in der Aufgabe als erstes bearbeitet werden soll.

L'Hôspital benötigst du nicht und kannst du auch gar nicht verwenden, denn dafür müsstest du ja die zu bestimmende Ableitung der Funktion schon kennen.
Es genügt, wenn du den Grenzwert für

\sin (x) / x

kennst.

Viele Grüße

TestUser123456789 aktiv_icon

17:26 Uhr, 25.01.2023

Hallo, Danke schonmal :-D)

Leider verstehe ich das aber noch nicht so ganz.
Der rechtsseitige Grenzwert ist doch einfach 0? Denn 5sin(pi-pi)=0

und da der rechtsseitige Grenzwert 0 ist muss der Linksseitige auch 0 sein sonst wäre die Funktion doch nicht diffbar?

Was ist hier mein fehler?

EDIT:

Oder verwechsle ich hier gerade das ganze mit der Stetigkeit. So hätte man es dann aber für die Stetigkeit gemacht? und da ist

α

tatsächlich völlig egal?

Punov aktiv_icon

17:36 Uhr, 25.01.2023

Hallo,

nein, das stimmt nicht.

Der rechtsseitige Grenzwert

lim_{x \to π^{+}} \frac{5 \sin (x - π)}{x - π}

ist nicht

0

. Da musst du nochmal ran.

Viele Grüße

TestUser123456789 aktiv_icon

17:37 Uhr, 25.01.2023

Ich hatte einfach

π

eingesetzt. (Siehe EDIT oben)

Habe ich das Verwechselt ?

Punov aktiv_icon

17:53 Uhr, 25.01.2023

Hallo,

mit Stetigkeit hat das hier erstmal nichts zu tun, es geht einfach darum die Grenzwerte auszurechnen und da kannst du nicht einfach so

x = π

einsetzen, nach der Logik müsstest du ja auch einfach im Nenner

x = π

einsetzen und dann würde sowieso alles schief gehen.

Mach dir klar, daß

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1

.

Daraus folgt dann

lim_{x \to π^{+}} \frac{5 \sin (x - π)}{x - π} = 5

.

Viele Grüße

TestUser123456789 aktiv_icon

17:56 Uhr, 25.01.2023

Alles Klar Dankeschön

!!

Kurze Frage aber noch:

Eine Funktion ist dann Stetig an

x 0

wenn der Link und Rechtsseitige Grenzwert in dieser stelle gleich sind.

Und diffbar ist eine Funktion in

x 0

wenn der Grenzwert des links und rechtsseitigen- Differenzialquotienten gleich sind. (Oder einfach die Ableitung Falls bekannt links und rechts gleich ist. Was in der Aufgabe dann am einfachsten wäre)

calc007

22:04 Uhr, 25.01.2023

Hallo
Ihr sprecht leider aneinander vorbei.
TestUser, wie du schon richtig angedeutet hast, erfordert Differenzierbarkeit

>

Stetigkeit

>

und Gleichheit des rechts- und links-seitigen Differenzialquotienten.
Euer wiederholtes Missverständnis betrifft offensichtlich, dass ihr nicht systematisch zu verstehen gebt, von was von Beidem ihr redet.

TestUser, vielleicht war ja einiges, was du angerissen hast gar nicht so falsch.
Vielleicht willst du nochmals systematisch deine Erkenntnisse auflisten:
Wie lautet der links-seitige Grenzwert der Funktionswertes an der Stelle

x_{0} = π

?
Wie lautet der rechts-seitige Grenzwert der Funktionswertes an der Stelle

x_{0} = π

?
Wie lautet der links-seitige Grenzwert der Differenzialquotienten an der Stelle

x_{0} = π

?
Wie lautet der rechts-seitige Grenzwert der Differenzialquotienten an der Stelle

x_{0} = π

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