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Parameter a bestimmen

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Verteilungsfunktionen

Tags: NormalVerteilungsfunktion

lisa2411 aktiv_icon

14:03 Uhr, 10.11.2019

Scheitere am erkennen welcher Satz benutzt werden muss.
Stäbe Durchmesser

X

als normalverteilte Zufallsgröße mit
Mittelwert μ

= 40

mm und Standardabweichung σ

= 1,5

mm . Ein Stab gilt als qualitätsgerecht, wenn ihr Durchmesser um nicht mehr als den Betrag a vom
Sollwert

40

mm abweicht. Welche Toleranzgrenze a ist zulässig, wenn im Mittel höchstens

4 %

Ausschuss erzeugt werden sollen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

14:17 Uhr, 10.11.2019

Hallo,

aus einer Tabelle der Uni Graz ( www.math.tugraz.at/mathc/wsp2016/vorlesung-scans/normalverteilungstabelle.pdf ) wird deutlich, dass man vom Mittelwert höchstens ca.

2, 05 . . . σ

abweichen darf, damit man innerhalb der Abweichung von

\pm 2 %

bleibt.
Um es genauer zu finden, bedarf es anderer Hilfsmittel.
Deshalb: Welche Hilfsmittel dürft ihr benutzen?
Und viel wichtiger: Das ist eine relativ einfache Frage in dem Zusammenhang. Warum gelingt dir die Antwort nicht selbst?

Mfg Michael

lisa2411 aktiv_icon

14:24 Uhr, 10.11.2019

Danke für die Schnelle Antwort . Mein Problem sind die

4 %

.
um a zu bestimmen wäre ich wie folgt vor gegangen:
Φ(a-50/1,5) = ?
ich komm nicht an den Wert für das Fragezeichen und mir fällt kein anderer Satz zum berechnen ein.

michaL aktiv_icon

16:53 Uhr, 10.11.2019

Hallo,

hast du dir ein Bild der Situation gemacht?

Links des Mittelwertes reiche bis

- \infty

. Du hast dein

a

getroffen, wenn die W. für den Bereich 98 % beträgt.
Warum gerade 98 %?

Mfg Michael

lisa2411 aktiv_icon

21:03 Uhr, 10.11.2019

Bei ihrer ersten Antwort, wie kommen sie da auf die werte 2,05...σ und

\pm 2 %

.
Wurde das durch diese Formel berechnet ?
Φ(x) = (1)/(√2π)

\int_{- \infty}^{x} e^{- \frac{t^{2}}{2}} d t

Ich kann diesen Schritt nicht nachvollziehen wo die beiden Werte her kommen?. Wurde anstelle von

x

nach a Integriert ?

michaL aktiv_icon

21:08 Uhr, 10.11.2019

Hallo,

* Ist dir klar, dass die Sache symmetrisch zu

μ

ist?
* Wie kommt man dann auf 2 %?
* Hast du dir die angefügte Zeichnung angeschaut?
* Hast du eine Tabelle verwendet, um die

2, 05 \dots σ

nachzuvollziehen?

Mfg Michael

lisa2411 aktiv_icon

21:32 Uhr, 10.11.2019

Danke für die Geduld erstmal.
Ist dir klar, dass die Sache symmetrisch zu μ ist? Welche Sache ist symmetrisch zu μ?
Hast du dir die angefügte Zeichnung angeschaut? Ja eine Fläche die eine Grenze bei

43

hat . Ist das die Fläche unter dem Integral zu der Formel die ich davor geschrieben habe? Ich versteh nicht wo du ansetzt .
Hast du eine Tabelle verwendet, um die 2,05…σ nachzuvollziehen? Ich habe die TAbelle: www.math.tugraz.at/mathc/wsp2016/vorlesung-scans/normalverteilungstabelle.pdf von dir benutzt.
Den wert

2,05

habe ich bei den Quantile der Normalverteilung gefunden. Aber weiß immer noch nichtüber welche Ansatzt du zu den

2 %

gekommen bist. Die dann zu den

98 % = 0,98

führen die den Wert 2,05σ hat.

michaL aktiv_icon

21:47 Uhr, 10.11.2019

Hallo,

die Aufgabe lautete:
> Welche Toleranzgrenze a ist zulässig, wenn im Mittel höchstens 4% Ausschuss erzeugt werden sollen?

Wenn höchstens 4 % Ausschuss erzeugt werden sollen, so werden "wegen der Symmetrie der Sache" (Abweichung

\pm

vom Mittelwert) 2 % oberhalb und 2% unterhalb erlaubt sein.

Damit stellt sich die Frage, wo das 98 %-Quantil liegt (100% -2%). Eine bessere Tabelle habe ich unter www.risk-research.de/fileadmin/user_upload/NV_Quantile.pdf gefunden.

Schau unter 98 % nach.

Wenn dir klar ist, warum die 4 % zu

\pm 2

% werden, dann ist die Sache geritzt.

Mfg Michael

lisa2411 aktiv_icon

22:42 Uhr, 10.11.2019

Danke, das ganze konnte ich so weit nachvollziehen und kann nun mein Problem richtig definieren. Die Tabelle der Quantile steht uns nicht zur Verfügung. Ich muss auf die Lösung des Problems mit Hilfe der oben genannten Formel.
oder den Folgenden Formeln kommen.

p (X \leq a) = p (x < a) =

φ (a-μ/

σ)

p (a \leq X \leq b)

=φ (b-μ)/

σ

-φ((b-μ)/

σ)

Falls das nicht möglich ist kann ich den Wert . 2,05σ als a verwenden also wäre das der parameterwert a oder der wert Φ((a-50)/(1,5))= 2,05σ

pivot aktiv_icon

07:06 Uhr, 11.11.2019

Hallo,

man standardisiert die Zufallsvariable erst einmal:

Z = \frac{X - μ}{σ}

. Jetzt ist Z standardnormalverteilt, also

Z \sim N (0, 1)

. Damit ist Z auch symmetrisch um den Erwartungswert

0

. Für diese gilt

P (- z < Z < z) = 2 Φ (z) - 1

Somit ist die (Un-)gleichung die zu lösen ist gleich

2 Φ (\frac{a - 40}{1, 5}) - 1 \leq 0, 04

Die Gleichung muss noch nach

x

aufgelöst werden.

2 Φ (z) - 1

ist die pinke Fläche bei der angehängten Grafik der Dichte der Standardnormalverteilung.

Gruß

pivot

michaL aktiv_icon

07:47 Uhr, 11.11.2019

Hallo,

> Die Tabelle der Quantile steht uns nicht zur Verfügung.

Die Aufgabe ist eine so genannte Umkehraufgabe, d.h. der "normale" Weg ist der von Wert zu Wahrscheinlichkeit.
Nun suchst du aber den umgekehrten Weg: von Wahrscheinlichkeit zu Wert, d.h. du brauchst eine Möglichkeit, aus einer Wahrscheinichkeit bei der Normalverteilung zurück zu einem Wert zu rechnen. Mit anderen Worten: Du brauchst die Quantile der Normalverteilung.
Ob mit oder ohne Standardisierung, ob mit oder ohne Taschenrechner, die Umkehrung von Wahrscheinlichkeiten in Werte ist nur Näherungsweise möglich, da ja auch die Exaktheit suggerierende Formel

P (X \leq a) = \int_{- \infty}^{a} \frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}} d x

nur über Näherungsverfahren berechnet wird.

So oder so, du benötigst eine Möglichkeit, Quantile der Normalverteilung zu berechnen: entweder Tabelle oder Taschenrechner.

Mfg Michael

pivot aktiv_icon

09:17 Uhr, 11.11.2019

Man kann es sich auch unnötig schwer machen.

Wenn man die Ungleichung lösen will die ich gepostet hatte, dann entsteht die Notwendigkeit

Φ^{- 1} (0, 52)

zu bestimmen. Jetzt nimmt man eine ganz normale Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zur Hand (siehe Link) und sucht nach einem Wert der

0, 52

möglichst nahe kommt. In der ersten Zeile in der Spalte "5" steht der Wert

0.5199

. Dieser Wert ist so nahe dem Wert

0, 52

, dass hier nicht mal die Notwendigkeit besteht linear zu interpolieren-obwohl die Methode auch in den meisten Fällen (falls notwendig) hinreichend ist.

Somit ist

Φ^{- 1} (0, 52) \approx 0, 05

www.math.tugraz.at/mathc/wsp2016/vorlesung-scans/normalverteilungstabelle.pdf

lisa2411 aktiv_icon

18:03 Uhr, 11.11.2019

Jetzt bin ich mehr verwirrt als vorher.
Ich konnte nachvollziehen wie 2Φ

(\frac{a - 40}{1,5})

−1≤0,04 zustande kam.
ich soll das ganze nach

x

(also a auflösen)?
Kann ich 2Φ

(\frac{a - 40}{1,5})

normal behandeln? Weil nach Φ kommt ja kein

\cdot

sondern eine Zugehörigkeit. Oder kann man nach der zugehörigkeit umstellen also am ende

Φ (a) = ... ...

. ?

z . B

f (x) = 2 x + 5

hier kann man ja einfach sagen

y = 2 x + 5

. Φ

(\frac{a - 40}{1,5})

hier sind ja noch die

- 40

und die

/ 1,5

vorhanden.

Somit ist

Φ^{- 1}

(0,52)≈0,05
ich komm in keiner meiner Versuche auf den Wert ≈0,05

Φ (0,52) = 0,6985

{0,6985}^{- 1} = 1,4316

pivot aktiv_icon

18:21 Uhr, 11.11.2019

>>Oder kann man nach der zugehörigkeit umstellen also am ende Φ(a)=....... ?<<

Im Prinzip ja. Wobei es eigentlich

Φ (z) = . . .

heißen müsste.

Wenn man

Φ (\frac{a - 40}{1, 4}) - 1 \leq 0, 04

nach

Φ (\frac{a - 40}{1, 5})

auflöst steht da

Φ (\frac{a - 40}{1, 5}) \leq 0, 52

Jetzt nimmt man in der Tat die Umkehrfunktion auf beiden Seiten. D.h. auf der linken Seite verschwindet die Funktion.

\frac{a - 40}{1, 5} \leq Φ^{- 1} (0, 52)

Man sucht jetzt in der angegeben Tablle den z- bzw. x-Wert bei dem die W´keit gleich (c.a) 0,52 ist. Ich habe den Wert rot eingekreist:

0, 5199 \approx 0, 52

Hier ist

z = 0, 05

. Die Spaltennamen stehen für die zweite Nachkommastelle.

Somit ist

Φ^{- 1} (0, 52) \approx 0, 05

Also ist die Ungleichung

\frac{a - 40}{1, 5} \leq 0, 05

Φ (0, 52) = 0, 6985

<<

Hier bist du genau umgekehrt vorgegangen. Du hast p=0,52 als z=0,52 interpretiert. Was nicht richtig ist. Dann hast du für

Φ (0, 52)

den zu gehörigen p-Wert gesucht. Du hast aber den p-Wert 0,52 gegeben und muss den entsprechnden z-Wert finden.

lisa2411 aktiv_icon

18:57 Uhr, 11.11.2019

Danke schon mal dafür. Das war sehr Hilfreich.
Das bedeutet

\frac{a - 40}{1,5} \leq 0,05

nach

a = 40,05 \cdot 1,5 = 60,075

Und damit hätte ich das a und die Aufgabe wäre gelöst.

Wenn man

Φ

((a−40)/(1,5)) −1≤0,04 nach

Φ

(a−40/1,5) auflöst steht da

Φ

(a−40/1,5)≤0,52

Wie wurde aus −1≤0,04 ≤0,52 Das die

0,52

aus den

0,04

enstanden ist kann ich nachvollziehen aber was ist mit der

- 1

pivot aktiv_icon

19:28 Uhr, 11.11.2019

>>Das bedeutet

\frac{a - 40}{1, 5} \leq 0, 05

<<

Ja, man muss jetzt nur richtig auflösen. Die Gleichung mit 1,5 multiplizieren.

a - 40 \leq 1, 5 \cdot 0, 05

a - 40 \leq 0, 075

...

>>Das die 0,52 aus den 0,04 enstanden ist kann ich nachvollziehen<<

Das kann ich wiederum nicht nach vollziehen. Wir haben

2 Φ (\frac{a - 40}{1, 5}) - 1 \leq 0, 04 ∣ + 1

2 Φ (\frac{a - 40}{1, 5}) \leq 1, 04 ∣ : 2

Φ (\frac{a - 40}{1, 5}) \leq 0, 52

lisa2411 aktiv_icon

20:23 Uhr, 11.11.2019

Da war ich zu schnell beim auflösen.
Vielen dank :-)

lisa2411 aktiv_icon

20:24 Uhr, 11.11.2019

pivot aktiv_icon

20:26 Uhr, 11.11.2019

Gerne. Freut mich, dass alles klar ist.

michaL aktiv_icon

21:35 Uhr, 11.11.2019

Hallo,

so jetzt ist mal Schluss mit lustig, pivot. Höre bitte auf, etwas Falsches zu verbreiten! Du machst gerade den Fehler, dass du Annahme- und Ablehnungsbereich vertauschst!

Es geht um den Parameter

a

, sodass

P (X \leq 40 - a) + P (X \geq 40 + a) = 0, 04

(1)
wobei

X \sim N (40; 1, 5)

gelte.

Die Mengen

M_{- a} := {X ∣ X \leq 40 - a}

und

M_{a} {X ∣ X \geq 40 + a}

liegen symmetrisch um

μ = 40

.
Daher gilt:

P (X \leq 40 - a) = P (X \geq 40 + a)

, wodurch (1) zu

2 P (X \geq 40 + a) = 0, 04

(2)
wird.

Wegen

P (X \geq 40 + a) = 1 - P (X \leq 40 + a)

(3) [ob "

\leq

" oder "

<

" spielt bei stetigen Verteilungen keine Rolle]

wird daraus also

1 - P (X \leq 40 + a) = 0, 02

bzw.

P (X \leq 40 + a) = 0, 98

(4)

Wir suchen also das 0,98-Quantil der Normalverteilung.

Ich hatte darauf schon hingewiesen, pivot hat es aber auch bestätigt, dass man das in der Tabelle der TU Graz findet.
Allerdings findet man das Quantil auch in dem zweiten Link:
www.risk-research.de/fileadmin/user_upload/NV_Quantile.pdf

Dort findet man (Standardnormalverteilung), dass

Φ_{0; 1} (2, 0537) = 0, 98

, was bedeutet, dass man das 2,0537-fache von

σ

von

μ

entfernt beginnt, die 98 %-Marke zu überschreiten.

Heißt also, dass

P (X \leq 40 + 2, 0537 σ) = 0, 98

gilt.
Insbesondere bedeutet dies, dass

P (40 - 2, 0537 σ \leq X \leq 40 + 2, 0537 σ) = 0, 96

bzw.

P (∣ X - 40 ∣ \leq 2, 0537 σ) = 0, 96

oder anders herum

P (∣ X - 40 ∣ \geq 2, 0537 σ) = 0, 04

gilt.
Damit ist

a = 2, 0537 σ = 3, 08055

die gesuchte Grenze.

Mfg Michael

pivot aktiv_icon

21:47 Uhr, 11.11.2019

>>Höre bitte auf, etwas Falsches zu verbreiten!<<

Hauptsache deine Antworten sind zielführend.

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