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Parameter bestimmen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Parameter bestimmen

fina1 aktiv_icon

15:31 Uhr, 22.04.2013

Hallo,
ich soll den Wert des parameters

u,

für den der graph fu die x-Achse berührt bestimmen.

a)

fu(x)=x²-2x+u

Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:34 Uhr, 22.04.2013

. .

. da es sich um eine Parabel handelt, sollte es nur EINE Nullstelle geben:

x^{2} - 2 \cdot x + u = 0

x^{2} - 2 \cdot x = - u

x^{2} - 2 \cdot x + 1 = 1 - u

{(x - 1)}^{2} = 1 - u

x = 1 \pm \sqrt{1 - u}

Was folgerst du daraus für die Diskriminante (Term in der Wurzel)?

;-)

fina1 aktiv_icon

15:39 Uhr, 22.04.2013

Achso, man muss nur die Nullstelle berechnen?! Also ich habe das mit meinem Taschenrechner gemacht und

x = 1

und

y = 0

rausbekommen.

Edddi aktiv_icon

15:55 Uhr, 22.04.2013

. .

. Juchu!!!!

Man muss aber nicht die Nullstelle berechnen, sondern genau EINE, darauf kommt's an!

Das ist aber nicht die Regel, sondern hier für diesen Spezialfall (Normale Parabel) ausreichend.

Die allgemeine Vorgehensweise ist ein wenig aufwendiger.

;-)

Edddi aktiv_icon

15:56 Uhr, 22.04.2013

. .

u = 1

muss aber rauskommen, und dann folgt erst daraus, dass

x = 1

die Stelle des Berührpunktes ist (war aber gernicht gefragt)!

;-)

fina1 aktiv_icon

15:57 Uhr, 22.04.2013

Vielen Dank, ich dachte man müsste etwas ganz anderes und kompliziertes berechnen :-) !

fina1 aktiv_icon

15:59 Uhr, 22.04.2013

ist es denn bei dieser Aufgabe genauso? Hier gibt es ja mehrere Nullstellen, welche muss man denn nehmen?
x³-3x+u

funke_61 aktiv_icon

16:23 Uhr, 22.04.2013

Die Funktion ist nun also:

f_{u} (x) = x^{3} - 3 x + u

Ist hier denn ebenfalls gefordert:
"Bestimme den Wert des Parameters

u,

für den der Graph

f_{u}

die x-Achse berührt"

Bitte gib ansonsten die Aufgabe genauer an.

fina1 aktiv_icon

16:37 Uhr, 22.04.2013

Ja genau dies ist bei dieser Funktion ebenfalls gefordert.

funke_61 aktiv_icon

16:44 Uhr, 22.04.2013

gut,
dann würde ich erstmal die erste Ableitung

f_{u}' (x)

bilden.

Suche dann die wagrechten Tangenten von

f_{u}' (x)

(Du solltest zwei x-Werte finden, an denen der Graph von

f_{u}

eine wagrechte Tangeneten besitzt.)

Diese x-Werte helfen Dir anschließend, jeweils den entsprechenden Parameter

u

zu bestimmen.
;-)

fina1 aktiv_icon

16:55 Uhr, 22.04.2013

Also mit meinem Taschenrechner habe ich die Ableitung gebildet und die Nullstelle

x = 0,816

rausbekommen. Muss ich diesen wert jetzt bei der normalen funktion eingeben? Dann bekomme ich halt

x = 0,816

und

y = - 1,088

Edddi aktiv_icon

20:22 Uhr, 22.04.2013

. .

. du sollst doch garnicht die Nullstellen berechnen!

Aufgabe ist es, dass

u

zu finden, für das

f_{U} (x)

die X-Achse berührt.

Wenn sich 2 Funktionen berühren, so haben sie an der Berührungsstelle den SELBEN Anstieg (die SELBE Tangente).
(Zur Info: Bei einem Schnittpunkt schneiden sich die Tangenten)

Da die X-Achse nun mal den Anstieg 0 hat, muss auch

f_{u} (x)

an der Berührstelle den Anstieg 0 haben.
Des Weiteren muss

f_{u} (x)

an dieser Stelle auch noch 0 sein (damit die Tangente nicht nur waagerecht ist, sondern auch noch auf der x-Achse liegt).

Den Anstieg 0 hat

f_{u} (x),

wenn

f_{u}' (x) = 0

Den Wert 0 an der Stelle hat

f_{u} (x)

wenn

f_{u} (x) = 0

Also mal flux eingesetzt:

Es ist ja

f_{u}' (x) = 3 \cdot x^{2} - 3,

somit:

3 \cdot x^{2} - 3 = 0, d . h

x = \pm 1

setzt dies nun ein in:

x^{3} - 3 \cdot x + u = 0

dann erhälst du 2 verschieden

u' s

.

Damit berührt dann

f_{u} (x)

die x-Achse einmal mit dem Hoch- und einmal mit dem Tiefpunkt.

;-)

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