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Parameter bestimmen, sodass ZFV unabhängig sind

Universität / Fachhochschule

16:02 Uhr, 03.06.2020

Hallo,
die Aufgabe lautet wie folgt:

Es seien

X, Y

stochastisch unabhängige

ℝ

-wertige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum

(Ω, A, P)

mit

P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 - p, P (Y = 1) = q

und

P (Y = 0) = 1 - q

, wobei

p, q \in [0, 1]

. Sei

Z = (X + Y) mod 2

. Für welche

p, q

sind

X

und

Z

stochastisch unabhängig, für welche nicht?

Ich habe bereits berechnet, wann

Z = 0

ist (X und Y gleich) und wann

Z = 1

ist (X und Y verschieden).
Weil

X

und

Y

st. unabh. sind, kann man auch

P (X = 0, Y = 0) = P (X = 0) \cdot P (Y = 0) = (1 - p) (1 - q)

berechnen (die anderen drei Fälle analog).

Nun bin ich bei

X

und

Z

allerdings unsicher, betrachte ich hier auch vier Fälle (X=Z=0, X=Z=1, X=0 und Z=1, ...)? Falls ja, wie löse ich nach

p

und

q

auf?

Fall 1: st. unab., wenn gilt:

P (X = 0, Z = 0) = P (X = 0) \cdot P (Z = 0)

.
Ist

P (Z = 0)

dann gleich

P (X = 0, Y = 0) + P (X = 1, Y = 1) = (1 - p) (1 - q) + p q

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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